Une variété à bord M pour laquelle il n'existe aucun voisinage U du bord ∂M homéomorphe au produit ∂M × [0,1) ; autrement dit, ∂M n'admet pas de col et le bord ne possède pas de voisinage produit.

Principe

La collarabilité signifie que le bord est plongé dans la variété avec une structure produit ; l'échec de la collarabilité indique que l'on ne peut pas choisir de cartes locales en produit autour du bord de manière cohérente, empêchant les constructions standard qui épaississent ou paramètrent le bord.

Démonstration

Une variété compacte à bord construite de sorte que les voisinages du bord soient des plongements 'sauvages' (par exemple via une construction emboîtée et entrelacée) peut ne pas admettre d'homéomorphisme identifiant un voisinage à ∂M × [0,1), fournissant ainsi un exemple concret non collarable.

Mauvaise application

Supposer que toute variété topologique à bord admet un col et utiliser des arguments dépendant d'un col (comme doubler la variété ou construire des voisinages de col pour coller) sans vérifier la collarabilité ; cela conduit à des constructions invalides lorsque le bord n'est pas collarable.

Conséquence

Lorsqu'une variété est non collarable, les techniques fondées sur l'extension des structures depuis le bord vers l'intérieur ou sur la décomposition par voisinages produits échouent ; cela affecte l'existence de certains isotopies, des théorèmes de voisinage tubulaire au bord et des arguments de recollement standard.

Inversion

Variété collarable : une variété à bord qui admet un voisinage du bord homéomorphe à ∂M × [0,1), permettant la paramétrisation du bord et les constructions basées sur un col.

Limite

Concerne les variétés topologiques (et parfois PL) à bord ; dans la catégorie lisse l'existence d'un col est garantie par des résultats classiques, ainsi les phénomènes non collarables sont principalement topologiques et dépendent des pathologies d'immersion du bord.

Tension sémantique

La tension réside entre la pathologie topologique (plongements sauvages et échec de la structure produit) et la régularité catégorielle (dans les catégories lisse ou PL les cols existent souvent) ; il faut distinguer la catégorie et la régularité d'immersion lors de l'utilisation d'arguments de col.

Synthèse

Une variété non collarable est une variété à bord dont le bord ne possède aucun voisinage homéomorphe à un produit avec un intervalle ; cet échec local de structure produit autour du bord obstrue les constructions standard fondées sur l'existence d'un col.