Una variedad con borde M para la cual no existe ningún vecindario U del borde ∂M que sea homeomorfo al producto ∂M × [0,1); en otras palabras, ∂M no tiene collar y el borde no admite un vecindario producto.

Principio

La collarabilidad es la propiedad de que el borde esté sentado en la variedad con una estructura producto; la falta de collarabilidad indica que no puede elegirse coherentemente una estructura de producto en vecindarios del borde, impidiendo construcciones estándar que engrosan o parametrizan el borde.

Demostración

Una variedad compacta con borde construida de forma que los vecindarios del borde sean inmersiones 'salvajes' (por ejemplo mediante una construcción anidada y enlazada) puede no admitir un homeomorfismo que identifique un vecindario con ∂M × [0,1), proporcionando así un ejemplo concreto no collarizable.

Aplicación incorrecta

Suponer que toda variedad topológica con borde tiene un collar y emplear argumentos que dependen de ello (como duplicar la variedad o construir vecindarios collar para pegar) sin verificar la collarabilidad; eso conduce a construcciones inválidas cuando el borde no es collarizable.

Consecuencia

Cuando una variedad no es collarizable, fallan las técnicas que dependen de extender estructuras desde el borde hacia el interior o de descomponer la variedad mediante vecindarios producto; esto afecta la existencia de ciertas isotopías, teoremas de vecindario tubular en el borde y los argumentos de pegado estándar.

Inversión

Variedad collarizable: una variedad con borde que admite un vecindario del borde homeomorfo a ∂M × [0,1), habilitando la parametrización del borde y las construcciones basadas en un collar.

Límite

Se refiere a variedades topológicas (y a veces PL) con borde; en la categoría suave la existencia de collar suele estar garantizada por teoremas estándar, por lo que los fenómenos no collarizables son principalmente topológicos y dependen de patologías de inmersión del borde.

Tensión semántica

La tensión está entre la patología topológica (inmersiones salvajes y fallo de la estructura producto) y la regularidad categorial (en categorías suaves o PL los collars suelen existir); al usar argumentos de collar debe distinguirse la categoría y la regularidad de la inmersión.

Síntesis

Una variedad no collarizable es una variedad con borde cuyo borde no admite vecindario homeomorfo a un producto con un intervalo; este fallo local de estructura producto alrededor del borde obstruye las construcciones estándar que asumen la existencia de un collar.