Eine Mannigfaltigkeit mit Rand M, für die es keine Umgebung U des Randes ∂M gibt, die homöomorph zu dem Produkt ∂M × [0,1) ist; mit anderen Worten, ∂M besitzt keinen «Collar» und der Rand hat keine Produktumgebung.

Prinzip

Collarbarkeit bedeutet, dass der Rand mit einer Produktstruktur in der Mannigfaltigkeit liegt; das Versagen der Collarbarkeit zeigt an, dass lokale Produktkarten am Rand nicht kohärent gewählt werden können, wodurch Standardkonstruktionen, die eine Verdickung oder Parametrisierung des Randes benötigen, scheitern.

Demonstration

Eine kompakte Mannigfaltigkeit mit Rand, bei der die Umgebungen des Randes durch 'wilde' Einbettungen konstruiert sind (etwa mittels verschachtelter Verknüpfungen), kann keine Homöomorphie besitzen, die eine Umgebung als ∂M × [0,1) darstellt, und liefert so ein konkretes nicht-collarbares Beispiel.

Fehlanwendung

Zu unterstellen, jede topologische Mannigfaltigkeit mit Rand habe einen Collar, und collarabhängige Argumente (wie das Verdoppeln der Mannigfaltigkeit oder das Verwenden von Collar-Umgebungen zum Verkleben) anzuwenden, ohne Collarbarkeit zu prüfen; dies führt zu ungültigen Konstruktionen, wenn der Rand nicht collarbar ist.

Konsequenz

Ist eine Mannigfaltigkeit nicht-collarbar, so versagen Techniken, die auf der Erweiterung von Strukturen vom Rand ins Innere oder auf Zerlegungen mittels Produktumgebungen beruhen; dies betrifft die Existenz bestimmter Isotopien, Röhrengebietssätze am Rand und übliche Verklebeverfahren.

Umkehrung

Collarbare Mannigfaltigkeit: eine Mannigfaltigkeit mit Rand, die eine Umgebung des Randes besitzt, die homöomorph zu ∂M × [0,1) ist, was Randparametrisierung und Standardkonstruktionen mit Collar erlaubt.

Abgrenzung

Betrifft hauptsächlich topologische (und teilweise PL-) Mannigfaltigkeiten mit Rand; in der glatten Kategorie ist die Existenz eines Collars durch klassische Sätze gesichert, weshalb nicht-collarbare Phänomene vornehmlich topologischer Natur und von Einbettungspathologien abhängig sind.

Semantische Spannung

Die Spannung besteht zwischen topologischer Pathologie (wilde Einbettungen und Versagen der Produktstruktur) und kategorischer Regularität (in glatten oder PL-Kategorien existieren Collars meist); beim Gebrauch von Collar-Argumenten ist Kategorie und Einbettungsregularität zu unterscheiden.

Synthese

Eine nicht-collarbare Mannigfaltigkeit ist eine Mannigfaltigkeit mit Rand, deren Rand kein Nachbarschaft besitzt, die homöomorph zu einem Produkt mit einem Intervall ist; dieses lokale Versagen der Produktstruktur am Rand verhindert Standardkonstruktionen, die einen Collar voraussetzen.