Un point x d'un espace topologique X tel qu'aucun voisinage de x n'est homéomorphe à un espace euclidien R^n (ou à un demi-espace R^n_+) d'une dimension fixe ; autrement dit, x constitue un défaut local de la structure de variété et ne peut être muni d'un modèle de carte locale unique.

Principe

Une variété exige des voisinages locaux uniformément euclidiens (ou demi-euclidiens pour les points du bord) ; un point non-variété viole cette uniformité au niveau local et empêche l'existence d'un atlas couvrant X qui ferait de X une variété.

Démonstration

Le sommet d'un cône en dimension 2 (l'apex) est un point non-variété pour le cône considéré comme sous-ensemble de R^3 : tout voisinage du sommet est homéomorphe à un voisinage conique, et non à un disque ouvert de R^2, donc aucune carte de dimension 2 n'existe en ce point.

Mauvaise application

Qualifier comme point de variété toute singularité isolée ou tout point de branchement parce qu'il appartient à un ensemble qui est par ailleurs une variété ; traiter à tort un sommet d'un graphe plongé dans le plan comme un point de variété et appliquer des théorèmes de variétés nécessitant des cartes locales euclidiennes.

Conséquence

Les outils topologiques et différentiels reposant sur une structure locale euclidienne échouent au point : il n'existe pas de carte locale, les invariants habituels comme l'espace tangent sont indéfinis, et les théorèmes d'extension ou de classification propres aux variétés peuvent ne plus s'appliquer.

Inversion

Point de variété : un point dont un voisinage est homéomorphe à R^n (ou à R^n_+ pour un point de bord), permettant l'existence de cartes locales et de l'appareil classique des variétés.

Limite

S'applique aux points d'espaces topologiques généraux ou de sous-ensembles d'espaces euclidiens ; exclut les points admettant un voisinage euclidien ou demi-euclidien. Ne caractérise pas à lui seul la nature globale des singularités au-delà de l'absence locale de carte.

Tension sémantique

La tension réside entre la notion de 'singularité' vue comme irrégularité géométrique ou analytique et le terme 'non-variété' qui est une absence purement topologique de cartes euclidiennes locales ; certaines singularités analytiques peuvent être des points de variété topologique, et certains points non-variété peuvent admettre une description analytique relativement douce.

Synthèse

Un point non-variété est une obstruction locale à la structure de variété : ses voisinages ne se modélisent sur aucun espace euclidien d'une dimension fixe, rendant inapplicable la théorie des variétés fondée sur des cartes locales.