Ein Punkt x in einem topologischen Raum X, für den keine Umgebung von x homöomorph zu einem euklidischen Raum R^n (oder einem Halbraum R^n_+) einer festen Dimension ist; gleichbedeutend ist x ein lokales Versagen der Mannigfaltigkeitsstruktur und kann nicht durch ein einziges konsistentes lokales Kartenmodell beschrieben werden.

Prinzip

Eine Mannigfaltigkeit verlangt einheitliche lokale euklidische (oder halb-euklidische für Randpunkte) Umgebungen; ein nichtmannigfaltiger Punkt verletzt diese Lokaluniformität und verhindert so die Existenz eines Atlas, der X zu einer Mannigfaltigkeit macht.

Demonstration

Die Spitze eines zweidimensionalen Kegels ist ein nichtmannigfaltiger Punkt, betrachtet als Teilraum von R^3: Jede Umgebung der Spitze ist homöomorph zu einer kegelartigen Umgebung, nicht zu einer offenen Scheibe in R^2, daher existiert dort keine 2-dimensionale Karte.

Fehlanwendung

Jede isolierte Singularität oder Verzweigungsstelle automatisch als Mannigfaltigkeitspunkt zu bezeichnen, weil sie in einer ansonsten mannigfaltigen Menge liegt; fälschlicherweise eine Scheitelstelle eines im Ebenen eingelegten Graphen als Mannigfaltigkeitspunkt zu behandeln und darauf Mannigfaltigkeitssätze anzuwenden.

Konsequenz

Topologische und differenzierbare Werkzeuge, die auf lokaler euklidischer Struktur beruhen, versagen an diesem Punkt: Es gibt keine lokale Koordinate, übliche Invarianten wie Tangentialräume sind nicht definiert, und mannigfaltigkeitsspezifische Klassifikations- oder Erweiterungssätze gelten nicht.

Umkehrung

Mannigfaltigkeitspunkt: ein Punkt, der eine Umgebung besitzt, die homöomorph zu R^n (oder R^n_+ für Randpunkte) ist und damit lokale Karten und das übliche Mannigfaltigkeitswesen unterstützt.

Abgrenzung

Gilt für Punkte in allgemeinen topologischen Räumen oder Teilmengen euklidischer Räume; schließt Punkte aus, die irgendeine euklidische oder halb-euklidische Umgebung besitzen. Bestimmt nicht allein globale Pfadologien oder Singularitätstypen über das lokale Ausfallverhalten hinaus.

Semantische Spannung

Die Spannung besteht zwischen 'Singularität' als geometrischer oder analytischer Unregelmäßigkeit und 'Nichtmannigfaltigkeit' als rein topologischem Fehlen lokaler euklidischer Karten; manche analytischen Singularitäten sind topologisch Mannigfaltigkeitspunkte, und manche nichtmannigfaltigen Punkte lassen sich analytisch mild beschreiben.

Synthese

Ein nichtmannigfaltiger Punkt ist ein lokales Hindernis für Mannigfaltigkeitsstruktur: Seine Umgebungen lassen sich nicht als euklidische Räume einer festen Dimension modellieren, weshalb lokal kartenbasierte Mannigfaltigkeitstheorie nicht anwendbar ist.