Un punto x en un espacio topológico X para el cual ningún vecindario de x es homeomorfo a ningún espacio euclidiano R^n (o a un semiespacio R^n_+) de dimensión fija; equivalentemente, x es un fallo local de la estructura de variedad que impide disponer de un único modelo de carta local.

Principio

Una variedad exige vecindarios locales uniformemente euclidianos (o semieuclidianos para puntos del borde); un punto no-variedad viola esa uniformidad a escala local y bloquea la existencia de un atlas que haga a X una variedad.

Demostración

El vértice de un cono en dimensión 2 es un punto no-variedad del cono considerado como subespacio de R^3: todo vecindario del vértice es homeomorfo a un vecino con forma de cono, no a un disco abierto de R^2, por lo que no existe una carta de dimensión 2 allí.

Aplicación incorrecta

Llamar punto de variedad a toda singularidad aislada o punto de ramificación porque pertenece a un conjunto que por lo demás es variedad; tratar erróneamente un vértice de un grafo embebido en el plano como punto de variedad y aplicar teoremas de variedades que requieren cartas locales euclidianas.

Consecuencia

Las herramientas topológicas y diferenciales que dependen de estructura local euclidiana fallan en el punto: no hay carta local, los invariantes como el espacio tangente no están definidos, y los teoremas de extensión o clasificación propios de variedades pueden no aplicarse.

Inversión

Punto de variedad: un punto cuyo vecindario es homeomorfo a R^n (o R^n_+ para un punto de borde), permitiendo la existencia de cartas locales y el aparato habitual de las variedades.

Límite

Se aplica a puntos en espacios topológicos generales o subconjuntos de espacios euclidianos; excluye puntos que admiten algún vecindario euclidiano o semieuclidiano. No determina por sí sola la naturaleza global de las singularidades más allá del fallo local de cartas.

Tensión semántica

La tensión está entre 'singularidad' entendida como irregularidad geométrica o analítica y 'no-variedad' como ausencia puramente topológica de cartas euclidianas locales; algunas singularidades analíticas pueden ser puntos de variedad topológica, y algunos puntos no-variedad pueden tener descripciones analíticas relativamente suaves.

Síntesis

Un punto no-variedad es una obstrucción local a la estructura de variedad: sus vecindarios no se modelan sobre espacios euclidianos de ninguna dimensión fija, por lo que la teoría de variedades basada en cartas locales no se puede aplicar allí.