Le Poids Du Réseau Nw(X) d'un espace X est la moindre cardinalité d'un réseau pour X : une famille N de parties de X telle que pour tout ouvert U et tout point x∈U il existe N∈N avec x∈N⊆U (équivalemment tout ouvert est réunion d'éléments de N contenus en lui).

Principe

Le poids du réseau mesure la plus petite taille d'une famille de régions qui raffine localement chaque ouvert ; un réseau n'a pas à être composé d'ouverts ni fermé pour les unions, mais doit témoigner des voisinages locaux.

Démonstration

Dans tout espace deuxième dénombrable Nw(X)=ℵ0 car une base dénombrable est aussi un réseau dénombrable. Pour un espace discret de cardinal κ, la famille des singletons est un réseau donc Nw(X)=κ.

Mauvaise application

Employer une famille qui se contente d'intersecter chaque ouvert sans la propriété d'inclusion exigée confond réseau et π-réseau ; traiter les réseaux comme nécessairement ouverts ou comme bases conduit à surcontrainte de l'invariant.

Conséquence

Un petit poids du réseau implique un contrôle des images continues et de certaines propriétés de recouvrement ; il entraîne souvent des conséquences de séparabilité ou de type Lindelöf combiné à d'autres hypothèses.

Inversion

Exiger que chaque ouvert soit réunion d'éléments d'une base (et pas seulement témoin local) donne le poids ordinaire w(X) ; supprimer la condition locale d'inclusion affaiblit vers le π-poids, modifiant la force de l'invariant.

Limite

S'applique aux espaces topologiques ; les réseaux peuvent être constitués de parties quelconques (pas nécessairement ouvertes), donc Nw(X) exclut les invariants qui exigent des bases ouvertes ou une structure algébrique sauf si elles servent de réseaux.

Tension sémantique

Le poids du réseau se situe entre le Poids Π et le poids ordinaire : les réseaux fournissent un contrôle local plus fort que les π-réseaux mais sont plus faibles que les bases. La confusion entre ces notions produit des mesures cardinales différentes.

Synthèse

Le Poids Du Réseau est la taille minimale d'une famille de parties témoignant des voisinages locaux pour chaque ouvert ; il représente une force intermédiaire d'information de recouvrement entre π-réseaux et bases.