Das Netzwerkgewicht Nw(X) eines Raums X ist die kleinste Kardinalität eines Netzwerks für X: eine Familie N von Teilmengen von X derart, dass für jede offene Menge U und jeden Punkt x∈U ein N∈N existiert mit x∈N⊆U (äquivalent: jede offene Menge ist Vereinigung von in ihr enthaltenen Elementen von N).

Prinzip

Das Netzwerkgewicht misst, wie klein eine Familie von Regionen sein kann, die dennoch jede offene Menge lokal verfeinert; ein Netzwerk muss nicht aus offenen Mengen bestehen und braucht nicht unter Vereinigungen abgeschlossen zu sein, es muss aber lokale Nachbarschaften nachweisen.

Demonstration

In jedem zweitzählbaren Raum gilt Nw(X)=ℵ0, da eine abzählbare Basis auch ein abzählbares Netzwerk ist. Für einen diskreten Raum der Kardinalität κ ist die Familie der Singletons ein Netzwerk, also Nw(X)=κ.

Fehlanwendung

Eine Familie zu verwenden, die nur jedes offene U berührt, ohne die Einschlussbedingung zu erfüllen, verwechselt Netzwerk mit π-Netzwerk; Netzwerke als zwingend offen oder als Basen zu behandeln führt zu überstarken Anforderungen.

Konsequenz

Kleines Netzwerkgewicht kontrolliert stetige Bilder und einige Überdeckungseigenschaften; zusammen mit weiteren Hypothesen kann es zu Separabilitäts- oder Lindelöf-ähnlichen Folgerungen führen.

Umkehrung

Fordert man, dass jede offene Menge Vereinigung von Basiselementen ist (statt nur lokal bezeugt zu werden), erhält man das gewöhnliche Gewicht w(X); die lokale Einschlussforderung zu entfernen schwächt zur π-Kardinalität ab.

Abgrenzung

Gilt für topologische Räume; Netzwerke können beliebige Teilmengen enthalten (nicht notwendigerweise offen), daher schließt Nw(X) Invarianten aus, die offene Basen oder algebraische Strukturen verlangen, sofern diese nicht als Netzwerke fungieren.

Semantische Spannung

Das Netzwerkgewicht steht zwischen Π-Gewicht und gewöhnlichem Gewicht: Netzwerke geben stärkere lokale Kontrolle als π-Netzwerke, sind aber schwächer als Basen. Vermischung dieser Begriffe führt zu unterschiedlichen kardinalen Invarianten.

Synthese

Das Netzwerkgewicht ist die minimale Größe einer Familie von Teilmengen, die für jedes offene U lokale Nachbarschaften nachweist; es bildet eine mittlere Stärke der Überdeckungsinformation zwischen π-Netzwerken und Basen ab.