Definición
El Peso de la Red Nw(X) de un espacio X es la menor cardinalidad de una red para X: una familia N de subconjuntos de X tal que para cada abierto U y cada punto x∈U existe N∈N con x∈N⊆U (equivalente a que todo abierto es unión de miembros de N contenidos en él).
Principio
Principio
El Peso de la Red mide cuán pequeña puede ser una familia de regiones que aun así refine localmente cada abierto; una red no necesita consistir en abiertos ni cerrarse bajo uniones, pero debe dar testimonio de vecindades locales.
Demostración
Demostración
En cualquier espacio de segunda contabilidad Nw(X)=ℵ0 porque una base contable es también una red contable. En un espacio discreto de cardinal κ la familia de singletons es una red por lo que Nw(X)=κ.
Aplicación incorrecta
Aplicación incorrecta
Usar una familia que solo intersecta cada abierto sin la propiedad de inclusión requerida confunde red con π-red; considerar las redes como necesariamente abiertas o como bases conduce a restringir en exceso el invariante.
Consecuencia
Consecuencia
Un pequeño peso de la red implica control sobre imágenes continuas y algunas propiedades de recubrimiento; combinado con otras hipótesis puede producir consecuencias de separabilidad o tipo Lindelöf.
Inversión
Inversión
Exigir que cada abierto sea unión de elementos de una base (no solo testimoniado localmente) produce el peso ordinario w(X); eliminar el requisito local de inclusión debilita la noción hacia el π-peso, cambiando la fuerza del invariante.
Límite
Límite
Se aplica a espacios topológicos; las redes pueden consistir en subconjuntos arbitrarios (no necesariamente abiertos), por lo que Nw(X) excluye invariantes que exigen bases abiertas o estructura algebraica salvo que actúen como redes.
Tensión semántica
Tensión semántica
El Peso de la Red se sitúa entre el Peso Π y el peso ordinario: las redes ofrecen mayor control local que las π-redes pero son más débiles que las bases. Confundir estas nociones conduce a distintos invariantes cardinales.
Síntesis
Síntesis
El Peso de la Red es el tamaño mínimo de una familia de subconjuntos que demuestra vecindades locales para cada abierto; representa una fuerza intermedia de información de recubrimiento entre π-redes y bases.