Le plus petit cardinal κ tel que, pour tout sous-ensemble A d'un espace et tout point x dans l'adhérence de A, il existe B⊆A avec |B|≤κ et x dans l'adhérence de B ; cet invariant mesure dans quelle mesure les adhérences sont contrôlées par de petits sous-ensembles, noté t(X) ou T(X).

Principe

Décrit à quel point les points limites dépendent de petits sous-ensembles : une faible tension signifie que les adhérences sont déterminées par de petits morceaux, établissant un lien entre le comportement des adhérences en un point et des contraintes de cardinalité.

Démonstration

Dans les espaces à base dénombrable en chaque point la tension vaut ℵ0 car l'adhérence en un point est déterminée par des suites (ensembles dénombrables) ; pour un espace muni de la topologie cofinie sur un ensemble non dénombrable la tension vaut 1 puisque tout point dans l'adhérence de A appartient soit à A soit tout ouvert cofin contient le point, donc un singleton suffit.

Mauvaise application

Supposer qu'une faible tension implique la métrisabilité ou la première dénombrabilité est incorrect ; la tension n'est qu'une des conditions et n'entraîne pas à elle seule l'existence de bases locales dénombrables.

Conséquence

Une borne sur la tension permet de contrôler cardinalités pour les adhérences et influence les propriétés héréditaires : les espaces de faible tension permettent souvent des arguments de réduction remplaçant de grands ensembles par de petits témoins pour vérifier des propriétés liées aux adhérences.

Inversion

Inverser la notion donne des espaces dont les adhérences exigent des sous-ensembles arbitrairement grands pour attester qu'un point en fait partie — une tension élevée indique un faible contrôle local par de petits ensembles.

Limite

S'applique à des espaces topologiques arbitraires et concerne les adhérences par rapport à des sous-ensembles quelconques ; elle ne prescrit pas directement le type de suites ou de filets nécessaires, et elle se distingue de notions comme la séquentialité ou la propriété de Fréchet–Urysohn.

Tension sémantique

La tension se rapproche de l'ordre séquentiel et de la propriété de Fréchet–Urysohn mais s'en distingue : les espaces séquentiels relient les adhérences aux suites spécifiquement, tandis que la tension quantifie la taille cardinale des témoins sans prescrire leur forme.

Synthèse

La tension mesure la taille cardinale minimale des témoins nécessaires pour déterminer les adhérences en des points : elle capture comment l'appartenance à l'adhérence peut se réduire à de petits sous-ensembles et interagit avec d'autres propriétés topologiques locales et héréditaires.