Die kleinste Kardinalzahl κ, so dass für jede Teilmenge A eines Raumes und jeden Punkt x in cls(A) eine Teilmenge B⊆A mit |B|≤κ existiert und x in cls(B) liegt; dieses Invarinat misst, wie Abschlüsse durch kleine Teilmengen kontrolliert werden, bezeichnet mit t(X) oder T(X).

Prinzip

Beschreibt, wie eng Häufungspunkte von kleinen Untermengen abhängen: geringe Engkeit bedeutet, dass Abschlüsse durch kleine Stücke bestimmt werden, und verbindet punktweises Abschlussverhalten mit kardinalen Beschränkungen.

Demonstration

In erstabzählbaren Räumen ist die Engkeit ℵ0, da der Abschluss an einem Punkt durch Folgen (abzählbare Mengen) bestimmt wird; in einem Raum mit der kofinalen Topologie auf einer überabzählbaren Menge ist die Engkeit 1, denn ein Punkt in cls(A) gehört entweder zu A oder jede kofinale Umgebung enthält ihn, also genügt ein Singleton.

Fehlanwendung

Zu glauben, geringe Engkeit impliziere Metrisierbarkeit oder Erstabzählbarkeit, ist falsch; Engkeit ist nur eine von mehreren Bedingungen und garantiert nicht allein das Vorhandensein abzählbarer lokaler Basen.

Konsequenz

Eine Beschränkung der Engkeit liefert kardinale Kontrollen für Abschlüsse und beeinflusst vererbbare Eigenschaften: Räume mit geringer Engkeit erlauben oft Reduktionsargumente, die große Mengen durch kleine Zeugen ersetzen, wenn Abschlussfragen geprüft werden.

Umkehrung

Umkehr betrachtet Räume, deren Abschlüsse beliebig große Teilmengen zum Nachweis benötigen — hohe Engkeit zeigt ein schwaches lokales Kontrollvermögen durch kleine Mengen an.

Abgrenzung

Gilt für beliebige topologische Räume und bezieht sich auf Abschlüsse relativ zu beliebigen Teilmengen; sie gibt nicht direkt vor, welche Arten von Folgen oder Netzen nötig sind, und unterscheidet sich von Begriffen wie Sequenzialität oder der Fréchet–Urysohn-Eigenschaft.

Semantische Spannung

Engkeit steht nahe bei sequentiellem Verhalten und der Fréchet–Urysohn-Eigenschaft, unterscheidet sich aber: sequentielle Räume beziehen Abschlüsse konkret auf Folgen, während Engkeit die kardinale Größe von Zeugen quantifiziert, ohne deren Form festzulegen.

Synthese

Engkeit misst die minimale kardinale Größe der Zeugen, die nötig sind, um Abschlüsse an Punkten zu bestimmen: sie erfasst, wie Zugehörigkeit zum Abschluss auf kleine Teilmengen reduziert werden kann und steht in Wechselwirkung mit anderen lokalen und vererbbaren topologischen Eigenschaften.