El menor cardinal κ tal que para todo subconjunto A de un espacio y todo punto x en la adherencia de A existe un subconjunto B⊆A con |B|≤κ y x en la adherencia de B; este invariante mide cuánto controlan las adherencias los subconjuntos pequeños y se denote t(X) o T(X).

Principio

Describe cuán estrechamente dependen los puntos límite de pequeños subsubconjuntos: una apretura pequeña significa que las adherencias quedan determinadas por piezas pequeñas, conectando el comportamiento puntual de la adherencia con restricciones de cardinalidad.

Demostración

En espacios de primera cuenta la apretura es ℵ0 porque la adherencia en un punto está determinada por sucesiones (conjuntos contables); en un espacio con la topología cofinita sobre un conjunto no numerable la apretura es 1 ya que un punto en la adherencia de A pertenece o bien a A o bien toda abierta cofinita lo contiene, así que basta un singleton.

Aplicación incorrecta

Asumir que una apretura baja implica metrizabilidad o primera numerabilidad es incorrecto; la apretura es sólo una de varias condiciones y no implica por sí misma la existencia de bases locales contables.

Consecuencia

Una cota sobre la apretura da control cardinal sobre adherencias e influye en propiedades hereditarias: los espacios de apretura pequeña suelen permitir argumentos de reducción que reemplazan conjuntos grandes por pequeños testigos al comprobar propiedades relacionadas con adherencias.

Inversión

Invertir la noción conduce a espacios cuyas adherencias requieren subconjuntos arbitrariamente grandes para testificar que un punto pertenece a la adherencia — alta apretura indica un débil control local por conjuntos pequeños.

Límite

Se aplica a espacios topológicos arbitrarios y concierne adherencias respecto a subconjuntos arbitrarios; no prescribe directamente el tipo de sucesiones o redes necesarias y se distingue de nociones como secuencialidad o la propiedad de Fréchet–Urysohn.

Tensión semántica

La apretura está cercana al orden secuencial y a la propiedad de Fréchet–Urysohn pero difiere: los espacios secuenciales relacionan adherencias con sucesiones concretas, mientras que la apretura cuantifica el tamaño cardinal de testigos sin precisar su forma.

Síntesis

La apretura mide el tamaño cardinal mínimo de testigos necesarios para determinar adherencias en puntos: captura cómo la pertenencia a la adherencia puede reducirse a pequeños subconjuntos y conecta con otras propiedades topológicas locales y hereditarias.