Une application continue r : X → A d'un espace topologique X sur un sous-espace A ⊆ X telle que la restriction de r à A est l'identité sur A (r|_A = id_A).

Principe

Une rétraction agit comme une projection qui laisse le sous-espace désigné immobile tout en ramassant ou en projetant le reste de l'espace ambiant dessus ; algébriquement, elle fournit une rétraction droite de l'inclusion A ↪ X.

Démonstration

Si X = A × [0,1], la projection r(a,t)=a est une rétraction sur A × {0}. Dans l'espace euclidien, la projection orthogonale linéaire de R^n sur un sous-espace linéaire L est une rétraction de R^n sur L si l'on choisit un complément linéaire.

Mauvaise application

Considérer que toute inclusion A ↪ X admet une rétraction (par exemple supposer que le disque unité fermé se rétracte continûment sur sa sphère frontière) — une telle application peut ne pas exister et, dans de nombreux cas classiques, cela est impossibile.

Conséquence

Si r : X → A est une rétraction et i : A ↪ X l'inclusion alors r ◦ i = id_A, donc les morphismes induits sur les groupes fondamentaux et la homologie satisfont r_* ◦ i_* = id ; en particulier i_* est injectif et r_* est surjectif.

Inversion

L'idée inverse est le problème d'extension (ou de section) : étant donné f : A → Y, une extension est F : X → Y avec F|_A = f ; contrairement à une rétraction, une extension ne scinde pas nécessairement une inclusion et est généralement une condition plus faible.

Limite

Nécessite un sous-espace A spécifié de X et la continuité de l'application ; exclut les rétractions au sens homotopique qui n'existent que jusqu'à homotopie sauf si l'on précise qu'il s'agit d'une déformation rétractante ou d'une forte déformation rétractante.

Tension sémantique

Rétraction vs déformation rétractante : une rétraction est une application continue unique vérifiant r|_A = id, tandis qu'une déformation rétractante est une homotopie à travers des applications de X dans X qui fixe A et aboutit à une rétraction ; cette dernière est strictement plus forte.

Synthèse

Une rétraction est le découplage point par point concret d'une inclusion A ↪ X par une application continue r : X → A ; elle fixe A point par point, induit un scindage sur les invariants algébriques et doit être distinguée des notions homotopiques définies seulement à homotopie près.