Eine stetige Abbildung r: X → A von einem topologischen Raum X auf einen Teilraum A ⊆ X, so dass die Einschränkung von r auf A die Identität auf A ist (r|_A = id_A).

Prinzip

Eine Retraktion wirkt wie eine Projektionsabbildung, die den angegebenen Teilraum unverändert lässt, während der Rest des umgebenden Raums auf diesen Teilraum zusammengezogen oder projiziert wird; algebraisch liefert sie ein rechtes Inverses zur Inklusion A ↪ X.

Demonstration

Für X = A × [0,1] ist die Projektion r(a,t)=a eine Retraktion auf A × {0}. Im euklidischen Raum ist die lineare orthogonale Projektion von R^n auf einen linearen Unterraum L eine Retraktion von R^n auf L, sofern ein komplementärer Unterraum gewählt wird.

Fehlanwendung

Die Annahme, jede Inklusion A ↪ X habe eine Retraktion (beispielsweise zu glauben, die abgeschlossene Einheitskugel rekraktiere stetig auf ihre Randkugel) — eine solche Abbildung muss nicht existieren und ist in vielen klassischen Fällen ausgeschlossen.

Konsequenz

Ist r: X → A eine Retraktion und i: A ↪ X die Inklusion, so gilt r ◦ i = id_A. Damit gelten auf den induzierten Fundamentalgroepen und der Homologie r_* ◦ i_* = id; insbesondere ist i_* injektiv und r_* surjektiv.

Umkehrung

Die umgekehrte Idee ist das Erweiterungsproblem (oder Sektionen): ist f: A → Y gegeben, so ist eine Erweiterung F: X → Y mit F|_A = f gefragt; im Gegensatz zur Retraktion spaltet eine Erweiterung die Inklusion nicht notwendigerweise und ist eine schwächere Bedingung.

Abgrenzung

Erfordert einen festgelegten Teilraum A von X und Stetigkeit der Abbildung; schließt homotopische Retraktionen aus, die nur bis auf Homotopie existieren, sofern nicht ausdrücklich von Deformationsretraktionen oder starken Deformationsretraktionen die Rede ist.

Semantische Spannung

Retraktion versus Deformationsretraktion: Eine Retraktion ist eine einzelne stetige Abbildung mit r|_A = id, während eine Deformationsretraktion eine Homotopie durch Abbildungen von X nach X ist, die A fixiert und in eine Retraktion mündet; letztere ist stärker.

Synthese

Eine Retraktion ist die konkrete punktweise Aufspaltung einer Inklusion A ↪ X durch eine stetige Abbildung r: X → A; sie fixiert A punktweise, liefert algebraische Splittings auf induzierten Invarianten und ist von homotopischen Varianten klar zu unterscheiden.