Una aplicación continua r: X → A desde un espacio topológico X sobre un subespacio A ⊆ X tal que la restricción de r a A es la identidad en A (r|_A = id_A).

Principio

Una retracción actúa como una proyección que deja fijo el subespacio designado mientras colapsa o proyecta el resto del espacio ambiente sobre él; algebraicamente proporciona una inversa por la derecha de la inclusión A ↪ X.

Demostración

Si X = A × [0,1], la proyección r(a,t)=a es una retracción sobre A × {0}. En el espacio euclidiano, la proyección ortogonal lineal de R^n sobre un subespacio lineal L es una retracción de R^n sobre L cuando se elige un complemento lineal.

Aplicación incorrecta

Suponer que toda inclusión A ↪ X admite una retracción (por ejemplo, asumir que el disco unidad cerrado se retrae continuamente sobre su esfera límite) — tal aplicación puede no existir y en muchos casos clásicos está demostrablemente ausente.

Consecuencia

Si r: X → A es una retracción e i: A ↪ X la inclusión, entonces r ◦ i = id_A, de modo que en los morfismos inducidos en grupos fundamentales y homología se tiene r_* ◦ i_* = id; en particular i_* es inyectivo y r_* es suprayectivo.

Inversión

La idea inversa es el problema de extensión (o sección): dada f: A → Y, una extensión es F: X → Y con F|_A = f; a diferencia de una retracción, una extensión no tiene por qué escindir una inclusión y suele ser una condición más débil.

Límite

Requiere un subespacio A especificado de X y continuidad de la aplicación; excluye las retracciones en sentido homotópico que sólo existen hasta homotopía salvo que se especifique que se trata de una retracción por deformación o fuerte.

Tensión semántica

Retracción frente a retracción por deformación: una retracción es una aplicación continua única con r|_A = id, mientras que una retracción por deformación es una homotopía por aplicaciones de X en X que fija A y acaba en una retracción; esta última es más fuerte.

Síntesis

Una retracción es la escisión puntual y concreta de la inclusión A ↪ X mediante una aplicación continua r: X → A; fija A punto por punto, produce divisiones algebraicas en invariantes inducidos y debe distinguirse de nociones homotópicas más débiles.