Un espace topologique C muni d'une application continue surjective p : C → X (la projection de revêtement) vers un espace de base X telle que tout point de X admet un voisinage ouvert U pour lequel p^{-1}(U) est une réunion disjointe d'ouverts de C, chacun envoyé par p par un homéomorphisme sur U. Les fibres p^{-1}(x) sont des ensembles discrets et p est un homéomorphisme local.

Principe

Un revêtement organise une projection globale en trivialisant localement la projection en une réunion disjointe de feuilles locales identiques ; la carte de revêtement est un homéomorphisme local à fibres discrètes et encode la manière dont des copies locales de la base sont assemblées en un espace total éventuellement plus connecté.

Démonstration

La fonction exponentielle R → S^1, t ↦ e^{2πit}, est une application de revêtement : tout petit arc U ⊂ S^1 est uniformément recouvert et son image réciproque est une réunion disjointe d'intervalles dans R. De même, l'application à n feuillets S^1 → S^1, z ↦ z^n, est un revêtement à n feuilles ; le revêtement universel d'un bouquet de cercles se dessine comme un arbre infini qui projette sur le bouquet.

Mauvaise application

Considérer toute application surjective et homéomorphisme local ou toute application à fibres discrètes comme un revêtement sans vérifier la condition d'ouverts uniformément recouverts, ou qualifier de revêtement des applications branchées ou ramifiées (qui possèdent des points sans voisinages uniformément recouverts). Confondre aussi revêtement et fibré lorsque la fibre n'est pas discrète.

Conséquence

Les revêtements vérifient la propriété de relèvement unique des chemins et des homotopies : un chemin ou une homotopie dans la base se relève dans le revêtement dès qu'on fixe un point de départ dans la fibre appropriée. La classification des revêtements d'un espace connexe, localement arc‑connexe et semi‑localement simplement connexe se traduit en classes de conjugaison de sous‑groupes de son groupe fondamental.

Inversion

La notion inverse consiste à prendre un quotient qui identifie des points distincts des fibres pour retrouver la base (par exemple en quotientant un revêtement universel par l'action d'un groupe de deck). Le renversement met en évidence le passage d'un espace total fortement connexe à un espace obtenu par identifications, de groupe fondamental plus riche.

Limite

La définition exige une application continue surjective et la condition d'ouverts uniformément recouverts ; elle exclut les revêtements branchés, les applications ramifiées, les applications entre espaces dépourvus de connexité locale par arcs ou de fibres discrètes, ainsi que les fibrés généraux dont la fibre n'est pas discrète. On suppose généralement la connexité de la base pour la classification.

Tension sémantique

On confond fréquemment « revêtement » et « fibré » : les deux se présentent localement comme triviaux, mais les revêtements ont des fibres discrètes et la condition d'ouverts uniformément recouverts. Notion voisine : « homéomorphisme local », nécessaire mais parfois insuffisant si la base est pathologique.

Synthèse

Un espace de revêtement est un espace total projeté sur une base par un homéomorphisme local qui dispose de feuilles locales disjointes et identiques ; il fournit le cadre du relèvement des chemins et des homotopies et relie la classification des revêtements aux sous‑groupes du groupe fondamental.