Un espacio topológico C junto con una aplicación continua y sobreyectiva p: C → X (la aplicación de recubrimiento) sobre un espacio base X tal que cada punto de X posee una vecindad abierta U para la cual p^{-1}(U) es una unión disjunta de abiertos de C, cada uno de los cuales se manda homeomórficamente sobre U por p. Las fibras p^{-1}(x) son conjuntos discretos y p es un homeomorfismo local.

Principio

Un recubrimiento organiza una proyección global trivializándola localmente en una unión disjunta de hojas locales idénticas; la aplicación de recubrimiento es un homeomorfismo local con fibras discretas y codifica cómo se ensamblan copias locales de la base en un espacio total que puede ser más conectado.

Demostración

La exponencial R → S^1, t ↦ e^{2πit}, es un recubrimiento: cada arco pequeño U ⊂ S^1 está uniformemente recubierto y su preimagen es una unión disjunta de intervalos en R. De forma análoga, la aplicación n‑pliegue S^1 → S^1, z ↦ z^n, es un recubrimiento de n hojas; el recubrimiento universal de un ramillete de círculos se dibuja como un árbol infinito que proyecta sobre el ramillete.

Aplicación incorrecta

Considerar cualquier homeomorfismo local sobreyectivo o cualquier aplicación con fibras discretas como un recubrimiento sin verificar la condición de vecindades uniformemente recubiertas, o llamar recubrimiento a aplicaciones ramificadas o con puntos de rama. Confundir recubrimientos con fibrados cuando la fibra no es discreta.

Consecuencia

Los recubrimientos satisfacen las propiedades de elevación única de caminos y homotopías: caminos y homotopías en la base se elevan al recubrimiento una vez elegido un punto inicial en la fibra adecuada. La clasificación de recubrimientos de un espacio conexo, localmente conexo por caminos y semilocalmente simplemente conexo corresponde a clases de conjugación de subgrupos de su grupo fundamental.

Inversión

La inversión consiste en tomar un cociente que identifica puntos distintos de las fibras para recuperar la base (por ejemplo, cocientar el recubrimiento universal por la acción del grupo de deck). La inversión subraya el paso de un espacio total más conectado a otro con más identificaciones y posiblemente grupo fundamental no trivial.

Límite

La definición exige una aplicación continua y sobreyectiva y la condición de vecindades uniformemente recubiertas; excluye recubrimientos ramificados, aplicaciones con ramificación, aplicaciones entre espacios sin conexión local por caminos o con fibras no discretas, y fibrados generales cuya fibra no sea discreta. Para la clasificación se suele suponer la conexidad de la base.

Tensión semántica

Existe confusión entre 'recubrimiento' y 'fibrado': ambos son localmente triviales, pero los recubrimientos tienen fibras discretas y la condición de vecindades uniformemente recubiertas. La relación con 'homeomorfismo local' también genera tensiones porque este último no basta en bases patológicas.

Síntesis

Un espacio de recubrimiento es un espacio total proyectado sobre una base mediante un homeomorfismo local que organiza hojas locales disjuntas e idénticas; proporciona el marco para la elevación de caminos y homotopías y vincula la clasificación de recubrimientos con subgrupos del grupo fundamental.