Ein topologischer Raum C zusammen mit einer stetigen surjektiven Abbildung p: C → X (der Überlagerung) auf einen Basisspace X, so dass jeder Punkt von X eine offene Umgebung U besitzt, für die p^{-1}(U) eine disjunkte Vereinigung offener Teilmengen von C ist, von denen jede durch p homöomorph auf U abgebildet wird. Die Fasern p^{-1}(x) sind diskrete Mengen und p ist eine lokale Homöomorphie.

Prinzip

Eine Überlagerung ordnet eine globale Projektion, indem sie die Projektion lokal in disjunkte, identische Blätter trivialisiert; die Überlagerungsabbildung ist eine lokale Homöomorphie mit diskreten Fasern und bestimmt, wie lokale Kopien der Basis zu einem möglicherweise stärker zusammenhängenden Totalraum zusammengefügt werden.

Demonstration

Die Exponentialabbildung R → S^1, t ↦ e^{2πit}, ist eine Überlagerung: Jeder kleine Bogen U ⊂ S^1 ist gleichmäßig überdeckt und sein Urbild ist eine disjunkte Vereinigung von Intervallen in R. Ebenso ist die n‑fache Abbildung S^1 → S^1, z ↦ z^n, eine n‑blättrige Überlagerung; die universelle Überlagerung eines Bouquet aus Kreisen lässt sich als unendlicher Baum zeichnen, der auf das Bouquet projiziert.

Fehlanwendung

Zu behaupten, jede surjektive lokale Homöomorphie oder jede Abbildung mit diskreten Fasern sei automatisch eine Überlagerung, ohne die Bedingung der gleichmäßig überdeckten Umgebungen zu prüfen, oder verzweigte/ramifizierte Abbildungen als Überlagerungen zu bezeichnen. Ebenso die Verwechslung mit Faserbündeln, wenn die Faser nicht diskret ist.

Konsequenz

Überlagerungen besitzen die Eigenschaft des einmaligen Hebens von Wegen und Homotopien: Wege und Homotopien in der Basis lassen sich in die Überlagerung heben, sobald ein Anfangspunkt in der passenden Faser gewählt ist. Die Klassifikation der Überlagerungen eines zusammenhängenden, lokal wegzusammenhängenden, semi‑lokal einfach zusammenhängenden Raums entspricht den Konjugationsklassen von Untergruppen des Fundamentalgruppes.

Umkehrung

Die Umkehr ist das Bilden eines Quotienten, der verschiedene Punkte in den Fasern identifiziert, um die Basis zu erhalten (zum Beispiel das Quotientieren einer universellen Überlagerung durch die Wirkung einer Deckgruppe). Die Umkehr zeigt den Übergang von einem stärker zusammenhängenden Totalraum zu einem Raum mit mehr Identifikationen und ggf. nichttrivialer Fundamentalgruppe.

Abgrenzung

Die Definition erfordert eine stetige surjektive Abbildung und die Bedingung der gleichmäßig überdeckten Umgebungen; sie schließt verzweigte Überlagerungen, ramifizierte Abbildungen, Abbildungen zwischen Räumen ohne lokale Wegzusammenhängigkeit oder mit nicht diskreten Fasern sowie allgemeine Faserbündel mit nicht diskreten Fasern aus. Für die Klassifikation nimmt man üblicherweise Zusammenhang der Basis an.

Semantische Spannung

Häufige Verwechslung besteht zwischen 'Überlagerung' und 'Faserbündel': beide sind lokal trivial, aber Überlagerungen haben diskrete Fasern und die Bedingung der gleichmäßig überdeckten Umgebungen. Auch der Unterschied zu 'lokaler Homöomorphie' führt zu Missverständnissen, weil letztere allein in pathologischen Fällen nicht genügt.

Synthese

Ein Überlagerungsraum ist ein Totalraum, der durch eine lokale Homöomorphie auf eine Basis projiziert wird und lokal in disjunkte, identische Blätter zerfällt; er bildet den Rahmen für Hebungseigenschaften von Wegen und Homotopien und verbindet die Klassifikation von Überlagerungen mit Untergruppen der Fundamentalgruppe.