Le sous‑groupe du groupe de Galois d'une extension formé des automorphismes qui fixent un premier (ou une place) choisi au‑dessus d'un premier de base ; c'est le stabilisateur (sous‑groupe de décomposition) dont la structure contrôle le comportement local de l'extension en ce premier et qui se projette sur Gal(k̄/k) avec noyau le groupe d'inertie.

Principe

Localiser l'action de Galois globale en un lieu choisi en prenant le stabilisateur de cette place ; le groupe de décomposition fait le lien entre le groupe de Galois global et les actions locales (Galois local ou inertie) et n'est déterminé qu'à conjugaison près par le choix du premier.

Démonstration

Dans une extension finie galoisienne, chaque premier au‑dessus de p a un groupe de décomposition conjugué aux autres au‑dessus de p ; le groupe de décomposition modulo l'inertie donne le groupe cyclique engendré par Frobenius pour les premiers non ramifiés et s'identifie localement à Gal(K_v^sep/K_v) pour les complétions.

Mauvaise application

Traiter le groupe de décomposition comme canonique sans noter sa dépendance au choix du premier ou oublier que les énoncés concernant les groupes de décomposition sont seulement bien définis à conjugaison près ; ou l'identifier au groupe de Galois tout entier sans vérifier l'inertie et le comportement de décomposition.

Conséquence

Connaître les groupes de décomposition fournit l'image galoisienne locale correcte : il localise les éléments de Frobenius, décrit la ramification via le sous‑groupe d'inertie, et permet le passage entre l'arithmétique globale et locale comme la théorie locale du corps de classes et les facteurs locaux des représentations.

Inversion

Plutôt que de passer au groupe de décomposition, considérer les classes de conjugaison globales ou le groupe de Galois complet ; cela met l'accent sur la symétrie globale au détriment du stabilisateur local et masque la structure résiduelle et de ramification locale.

Limite

Défini relativement à un premier choisi dans une extension et naturellement un sous‑groupe déterminé à conjugaison près ; pour des extensions infinies on considère les limites projectives des groupes de décomposition, et les places archimédiennes nécessitent un traitement particulier (phénomènes de conjugaison complexe) hors du cadre des corps résiduels.

Tension sémantique

Tension entre la vision du groupe de Galois local de la complétion et celle du groupe de décomposition : le groupe de décomposition n'est isomorphe au groupe de Galois absolu de la complétion qu'après choix d'injections, et il y a conflit entre descriptions globales canoniques et la dépendance à la conjugaison des stabilisateurs locaux.

Synthèse

Le groupe de décomposition est le stabilisateur d'une place dans le groupe de Galois global ; en se projetant sur le groupe de Galois du corps résiduel avec noyau l'inertie, il organise les données locales (Frobenius, ramification, action galoisienne locale) qui font le lien entre extensions de corps globales et leurs complétions locales.