El subgrupo del grupo de Galois de una extensión que consta de los automorfismos que fijan un primo (o lugar) elegido sobre un primo base; es el estabilizador (subgrupo de descomposición) cuya estructura controla el comportamiento local de la extensión en ese primo y se proyecta sobre el grupo de Galois del cuerpo residual con núcleo el grupo de inercia.

Principio

Localizar la acción global de Galois en un lugar elegido tomando el estabilizador de esa plaza; el grupo de descomposición sirve de puente entre el grupo de Galois global y las acciones Galois locales o de inercia, y está determinado sólo a conjugación por la elección del primo.

Demostración

En una extensión galoisiana finita, cada primo sobre p tiene un grupo de descomposición conjugado a los demás sobre p; el grupo de descomposición modulo inercia da el grupo cíclico generado por Frobenius para primos no ramificados y, en términos locales, se identifica con Gal(K_v^sep/K_v) para las completaciones.

Aplicación incorrecta

Tratar al grupo de descomposición como canónico sin notar su dependencia del primo elegido o olvidar que las afirmaciones sobre grupos de descomposición están bien definidas sólo hasta conjugación; o identificarlo con todo el grupo de Galois sin comprobar la inercia y el comportamiento de descomposición.

Consecuencia

Comprender los grupos de descomposición proporciona la imagen Galois local correcta: localiza elementos de Frobenius, describe la ramificación mediante el subgrupo de inercia y permite el paso entre la aritmética global y local, como la teoría local del campo de clases y los factores locales de representaciones.

Inversión

En vez de pasar al grupo de descomposición, considerar clases de conjugación globales o el grupo de Galois completo; esto enfatiza la simetría global en lugar del estabilizador localizado y oculta la estructura residual y de ramificación local.

Límite

Definido en relación con un primo elegido en una extensión y naturalmente un subgrupo determinado hasta conjugación; para extensiones infinitas se consideran límites inversos de grupos de descomposición, y los lugares archimedianos requieren tratamiento especial (conjugación compleja) fuera del marco del cuerpo residual.

Tensión semántica

Existe tensión con la visión del grupo de Galois local de la completación: el grupo de descomposición es isomorfo al grupo de Galois absoluto de la completación sólo tras elegir incrustaciones, y hay tensión entre descripciones globales canónicas y la dependencia de conjugación de los estabilizadores locales.

Síntesis

El grupo de descomposición es el estabilizador de una plaza dentro del grupo de Galois global; al proyectarse sobre los grupos de Galois de cuerpos residuales con núcleo la inercia organiza los datos locales (Frobenius, ramificación, acción Galois local) que median entre las extensiones de campos globales y sus completaciones locales.