Die Untergruppe der Galois‑Gruppe einer Erweiterung, bestehend aus Automorphismen, die ein gewähltes Primideal (oder eine Stelle) über einem Grundprim ideal festlassen; sie ist der Stabilisator (Zerlegungsuntergruppe), deren Struktur das lokale Verhalten der Erweiterung an dieser Stelle steuert und der auf die Galois‑Gruppe des Restkörpers mit Kern der Inertie abbildet.

Prinzip

Die globale Galois‑Wirkung an einer gewählten Stelle lokalisieren, indem man den Stabilisator dieser Stelle nimmt; die Zerlegungsgruppe verbindet die globale Galois‑Gruppe mit den lokalen Galois‑ bzw. Inertiewirkungen und ist nur bis auf Konjugation durch die Wahl des Primideals bestimmt.

Demonstration

In einer endlichen Galoiserweiterung sind die Zerlegungsgruppen der verschiedenen über p liegenden Primideale zueinander konjugiert; die Zerlegungsgruppe modulo Inertie liefert für unverzweigte Stellen die von Frobenius erzeugte zyklische Gruppe und entspricht lokal Gal(K_v^sep/K_v) für Komplettierungen.

Fehlanwendung

Die Zerlegungsgruppe als kanonisch anzusehen, ohne ihre Abhängigkeit von der Wahl des Primideals zu beachten, oder Aussagen über Zerlegungsgruppen als global eindeutig auszugeben statt nur bis Konjugation; oder sie mit der ganzen Galois‑Gruppe zu verwechseln, ohne Inertie und Zerlegung zu prüfen.

Konsequenz

Die Kenntnis der Zerlegungsgruppen gibt das richtige lokale Galois‑Bild: sie lokalisiert Frobenius‑Elemente, beschreibt Verzweigung über die Inertieuntergruppe und ermöglicht den Übergang zwischen globaler und lokaler Arithmetik wie lokale Klassenfeldtheorie und lokale Faktoren von Darstellungen.

Umkehrung

Anstelle der Zerlegungsgruppe betrachtet man globale Konjugationsklassen oder die gesamte Galois‑Gruppe; dies betont globale Symmetrie statt den lokal stabilisierenden Untergruppen und verwischt die lokale Rest‑ und Verzweigungsstruktur.

Abgrenzung

Definiert relativ zu einem gewählten Primideal in einer Erweiterung und natürlicherweise ein bis auf Konjugation bestimmter Untergruppe; für unendliche Erweiterungen betrachtet man inverse Limite von Zerlegungsgruppen, und archimedische Stellen erfordern gesonderte Behandlung (Komplexkonjugation) außerhalb des Restkörperrahmens.

Semantische Spannung

Spannung zwischen der Vorstellung vom lokalen Galois‑Gruppe der Komplettierung und der Zerlegungsgruppe: Die Zerlegungsgruppe ist nur nach Wahl von Einbettungen isomorph zum absoluten Galois‑Gruppe der Komplettierung, und es besteht ein Konflikt zwischen kanonischen globalen Beschreibungen und der Konjugationsabhängigkeit lokaler Stabilisatoren.

Synthese

Die Zerlegungsgruppe ist der Stabilisator einer Stelle innerhalb der globalen Galois‑Gruppe; indem sie sich auf die Galois‑Gruppe des Restkörpers mit Kern die Inertie projiziert, ordnet sie lokale Daten (Frobenius, Verzweigung, lokale Galois‑Wirkung) die als Vermittler zwischen globalen Körpererweiterungen und ihren lokalen Komplettierungen fungieren.