L'un des sous-groupes successifs de la filtration de ramification du groupe de Galois d'une extension galoisienne finie de corps locaux, indexés soit par des entiers (numérotation inférieure) soit par des réels via la numérotation supérieure ; ces sous-groupes mesurent des niveaux de ramification sauvage de plus en plus fins au-delà de l'inertie et des quotients modérément ramifiés.

Principe

La filtration de ramification stratifie le groupe de Galois selon la façon dont ses éléments agissent sur les groupes d'unités d'ordre supérieur et sur les quotients successifs de l'anneau de valuation : les groupes de ramification supérieure sont constitués des automorphismes qui agissent trivialement modulo des puissances de plus en plus grandes de l'idéal maximal, et leurs sauts quantifient la profondeur de la ramification sauvage.

Démonstration

Pour une extension cyclique p-entièrement ramifiée d'un corps local on calcule des groupes de ramification supérieurs non triviaux G^i pour i≥1, et les sauts en numérotation supérieure sont reliés au conducteur et au conducteur de Swan des représentations associées ; des calculs locaux explicites montrent des comportements différents selon que la ramification est modérée ou sauvage et fournissent la fonction de Herbrand qui relie numérotations supérieure et inférieure.

Mauvaise application

Confondre numérotations supérieure et inférieure ou utiliser la filtration sans appliquer la fonction de Herbrand lors du passage entre elles ; ignorer la ramification sauvage en ne traitant que l'inertie et le quotient modéré occulte des contributions essentielles aux conducteurs et aux représentations galoisiennes locales.

Conséquence

Les groupes de ramification supérieure contrôlent des invariants tels que le discriminant, les conducteurs d'Artin et de Swan, et la structure des représentations galoisiennes locales ; leur comportement influence des phénomènes globaux via les contributions locales aux conducteurs et à l'arithmétique des extensions.

Inversion

La notion complémentaire est le quotient modérément ramifié et le sous-groupe d'inertie : en quotientant par les groupes de ramification supérieure on obtient la partie modérée de l'inertie, qui capture seulement le comportement tamé et élimine les phénomènes sauvages d'ordre supérieur.

Limite

Définis pour des extensions galoisiennes finies de corps locaux (corps complets discrètement valués à corps résiduel parfait) et pour leurs groupes de décomposition à l'intérieur de groupes galoisiens globaux ; le concept ne s'applique pas directement aux extensions non galoisiennes sans passage à une clôture galoisienne ni aux groupes agissant sur des objets dépourvus d'une filtration valuationnelle.

Tension sémantique

Une tension existe entre la numérotation inférieure (indice entier, description concrète) et la numérotation supérieure (indices réels, stable par quotients) utilisée dans de nombreux résultats ; cela crée une subtilité lors de la comparaison des données de ramification entre extensions et dans des formules de théorie des représentations.

Synthèse

Les groupes de ramification supérieure forment une filtration du groupe de Galois selon la profondeur d'action sur les quotients d'unités successifs ; ils quantifient la ramification sauvage par des sauts et des numérotations, déterminent conducteurs et discriminants, et transforment ainsi le comportement local raffiné de la ramification en invariants arithmétiques.