Einer der sukzessiven Untergruppen in der Verzweigungsfiltration der Galoisgruppe einer endlichen galoisschen Erweiterung lokaler Körper, indiziert entweder durch Ganzzahlen (untere Nummerierung) oder durch reelle Zahlen mittels der oberen Nummerierung; diese Untergruppen messen verfeinerte Ebenen wilder Verzweigung jenseits von Inertie und tamem Quotienten.

Prinzip

Die Verzweigungsfiltration schichtet die Galoisgruppe danach, wie ihre Elemente auf höheren Einheitengruppen und auf sukzessiven Quotienten des Bewertungsrings wirken: höhere Verzweigungsgruppen bestehen aus Automorphismen, die modulo immer höherer Potenzen des maximalen Ideals trivial wirken, und ihre Sprünge quantifizieren die Tiefe der wilden Verzweigung.

Demonstration

Für eine total verzweigte zyklische p-Erweiterung eines lokalen Körpers berechnet man nichttriviale höhere Verzweigungsgruppen G^i für i≥1, und die oberen Nummerierungssprünge stehen in Beziehung zum Leiter und dem Swan-Leiter von zugehörigen Darstellungen; explizite lokale Rechnungen zeigen unterschiedliches Verhalten im tamenen gegenüber dem wilden Fall und liefern die Herbrand-Funktion, die obere und untere Nummerierung verbindet.

Fehlanwendung

Die obere und untere Nummerierung zu verwechseln oder die Filtration zu benutzen, ohne die Herbrand-Funktion beim Übergang anzuwenden; das Ignorieren wilder Verzweigung durch Beschränkung auf Inertie und tame Quotienten übergeht wesentliche Beiträge zu Leitern und lokalen Galoisdarstellungen.

Konsequenz

Höhere Verzweigungsgruppen steuern Invarianten wie die Diskriminante, Artin- und Swan-Leiter sowie die Struktur lokaler Galoisdarstellungen; ihr Verhalten beeinflusst globale Phänomene durch lokale Beiträge zu Leitern und zur Arithmetik von Erweiterungen.

Umkehrung

Die komplementäre Vorstellung ist der tame Quotient und die Inertie-Untergruppe: Durch Quotientieren nach den höheren Verzweigungsgruppen erhält man den tamem Anteil der Inertie, der nur tam geprägtes Verhalten erfasst und wilde Höherordnungsphänomene verwirft.

Abgrenzung

Definiert für endliche galoissche Erweiterungen lokaler Körper (vollständige diskret bewertete Körper mit perfektem Restklörper) und für ihre Zersetzungsgruppen innerhalb globaler Galoisgruppen; das Konzept gilt nicht unmittelbar für nicht-galoissche Erweiterungen ohne Überführung in eine galoissche Hülle noch für Gruppen, die auf Objekten ohne valuations-theoretische Filtration wirken.

Semantische Spannung

Es besteht Spannung zwischen der unteren Nummerierung (ganzzahlig, konkrete Beschreibung) und der oberen Nummerierung (reell indiziert, quotientenstabil), die in vielen Sätzen bevorzugt wird; dies erzeugt Feinheiten beim Vergleich von Verzweigungsdaten zwischen Erweiterungen und in Darstellungstheoretischen Formeln.

Synthese

Höhere Verzweigungsgruppen bilden eine Filtration der Galoisgruppe nach der Tiefe der Wirkung auf sukzessive Einheitenquotienten; sie quantifizieren wilde Verzweigung durch Sprünge und Nummerierungen, bestimmen Leiter und Diskriminanten und übersetzen damit verfeinertes lokales Ramifikationsverhalten in arithmetische Invarianten.