Uno de los subgrupos sucesivos en la filtración de ramificación del grupo de Galois de una extensión galoisiana finita de cuerpos locales, indexados bien por enteros (numeración inferior) o por reales mediante la numeración superior; estos subgrupos miden niveles cada vez más refinados de ramificación salvaje más allá de la inercia y de los cocientes tamizados.

Principio

La filtración de ramificación estratifica el grupo de Galois según cómo sus elementos actúan sobre grupos de unidades de orden superior y sobre cocientes sucesivos del anillo de valoración: los grupos de ramificación superior consisten en automorfismos que actúan trivialmente módulo potencias cada vez mayores del ideal maximal, y sus saltos cuantifican la profundidad de la ramificación salvaje.

Demostración

Para una extensión cíclica totalmente ramificada de p de un cuerpo local se calculan grupos de ramificación superiores no triviales G^i para i≥1, y los saltos en la numeración superior se relacionan con el conductor y el conductor de Swan de las representaciones asociadas; cálculos locales explícitos muestran comportamiento distinto en los casos tamizado y salvaje y producen la función de Herbrand que relaciona numeraciones superior e inferior.

Aplicación incorrecta

Confundir las numeraciones superior e inferior o usar la filtración sin aplicar la función de Herbrand al pasar entre ellas; ignorar la ramificación salvaje tratando solo la inercia y el cociente tamizado omite contribuciones esenciales a conductores y representaciones galoisianas locales.

Consecuencia

Los grupos de ramificación superiores controlan invariantes como el discriminante, los conductores de Artin y Swan y la estructura de las representaciones galoisianas locales; su comportamiento influye en fenómenos globales a través de contribuciones locales a conductores y a la aritmética de extensiones.

Inversión

La noción complementaria es el cociente tamizado y el subgrupo de inercia: al tomar el cociente por los grupos de ramificación superiores se obtiene la parte tamizada de la inercia, que captura únicamente el comportamiento de ramificación moderada y descarta fenómenos salvajes de orden superior.

Límite

Definido para extensiones galoisianas finitas de cuerpos locales (campos completos discretamente valorados con cuerpo residual perfecto) y para sus grupos de descomposición dentro de grupos galoisianos globales; el concepto no se aplica directamente a extensiones no galoisianas sin pasar a un cierre galoisiano ni a grupos que actúen sobre objetos sin una filtración valorativa.

Tensión semántica

Existe tensión entre la numeración inferior (índice entero, descripción concreta) y la numeración superior (índices reales, estable por cocientes) preferida en muchos teoremas; esto produce sutilezas al comparar datos de ramificación entre extensiones y en fórmulas de teoría de representaciones.

Síntesis

Los grupos de ramificación superior forman una filtración del grupo de Galois por la profundidad de acción en cocientes sucesivos de unidades; cuantifican la ramificación salvaje mediante saltos y numeraciones, determinan conductores y discriminantes y traducen así el comportamiento local refinado de la ramificación en invariantes aritméticos.