Formule donnant l'exposant du premier p divisant n! : v_p(n!) = Σ_{k≥1} floor(n/p^k), c'est-à-dire que la valuation p-adique de n! est la somme des parties entières de n divisées par les puissances successives de p jusqu'à disparition des termes.

Principe

Compter les contributions des multiples de p, p^2, p^3, … dans n! : chaque multiple de p apporte au moins un facteur p, les multiples de p^2 apportent un facteur supplémentaire, etc. ; la somme des parties entières agrège exactement ces contributions.

Démonstration

Exemple : pour n=10 et p=2, v_2(10!) = floor(10/2)+floor(10/4)+floor(10/8)+floor(10/16)+… =5+2+1+0+…=8, donc 2^8 divise 10! mais 2^9 ne le divise pas.

Mauvaise application

Utiliser la somme infinie sans prendre les parties entières ou oublier que les termes finissent par s'annuler ; ou essayer d'appliquer la formule à d'autres objets que les factorielles (par ex. produits binomiaux quelconques) sans vérifier la structure combinatoire.

Conséquence

Fournit une méthode efficace et exacte pour calculer les valuations p-adiques des factorielles, centrale dans les arguments de divisibilité, l'évaluation des valuations des coefficients binomiaux et en théorie p-adique et combinatoire des nombres.

Inversion

Plutôt que de sommer floor(n/p^k), on peut voir les valuations de façon combinatoire via le comptage des retenues en addition en base p (théorème de Kummer), offrant une perspective duale : Legendre compte les multiples, Kummer compte les retenues dans l'addition des indices binomiaux.

Limite

La formule s'applique à n! pour les entiers n≥0 et les nombres premiers p ; elle ne se généralise pas directement aux analogues de factorielle non entiers ni aux valuations de suites entières arbitraires sans décomposition combinatoire appropriée.

Tension sémantique

Rapport étroit et confusion possible avec le théorème de Kummer et les techniques de valuation p-adique : Legendre donne une somme de parties entières directe, tandis que Kummer caractérise la valuation des coefficients binomiaux par les retenues en base p, deux points de vue complémentaires mais distincts.

Synthèse

La Formule de Legendre exprime exactement la valuation p-adique de n! comme somme des parties entières de n divisées par les puissances de p, encodant le compte des multiplicités des puissances premières dans les factorielles et servant d'outil de calcul pratique en divisibilité et études p-adiques.