Formel zur Bestimmung des Exponenten einer Primzahl p, die n! teilt: v_p(n!) = Σ_{k≥1} floor(n/p^k), das heißt die p-adische Bewertung von n! ist die Summe der ganzzahligen Teile von n geteilt durch aufeinanderfolgende Potenzen von p, bis die Terme verschwinden.

Prinzip

Beiträge der Vielfachen von p, p^2, p^3, … zu n! zählen: jedes Vielfache von p liefert mindestens einen Faktor p, Vielfache von p^2 liefern einen zusätzlichen Faktor usw.; die Summe der Floors fasst diese Beiträge exakt zusammen.

Demonstration

Beispiel: für n=10 und p=2 gilt v_2(10!) = floor(10/2)+floor(10/4)+floor(10/8)+floor(10/16)+… =5+2+1+0+…=8, also teilt 2^8 10! aber 2^9 nicht.

Fehlanwendung

Die unendliche Summe ohne Anwendung der Floors verwenden oder vergessen, dass die Terme schließlich null werden; oder die Formel auf andere Objekte als Fakultäten (z. B. beliebige binomiale Produkte) ohne Kontrolle der kombinatorischen Struktur anwenden.

Konsequenz

Bietet eine effiziente und exakte Methode zur Berechnung p-adischer Bewertungen von Fakultäten, zentral für Teilbarkeitsargumente, die Bestimmung der Bewertung von Binomialkoeffizienten und in p-adischer sowie kombinatorischer Zahlentheorie.

Umkehrung

Statt die floor-Summe zu summieren, kann man Bewertungen kombinatorisch über die Anzahl der Überträge in der p-adischen Addition betrachten (Kummers Satz), was eine duale Perspektive bietet: Legendre zählt Vielfache, Kummer zählt Überträge bei der Addition der binomialen Indizes.

Abgrenzung

Die Formel gilt für n! mit nichtnegativen ganzen Zahlen n und Primzahlen p; sie verallgemeinert nicht unmittelbar auf nichtganzzahlige Fakultätsanaloga oder auf die Bewertung beliebiger ganzzahliger Folgen ohne adäquate kombinatorische Zerlegung.

Semantische Spannung

Enge Beziehung und gelegentliche Verwechslung mit Kummers Satz und p-adischen Bewertungstechniken: Legendre gibt eine direkte floor-Summe, während Kummer die Bewertung von Binomialkoeffizienten durch Basis-p-Überträge charakterisiert; beides sind komplementäre, aber unterschiedliche Sichtweisen.

Synthese

Legendres Formel drückt die p-adische Bewertung von n! exakt als Summe der Floors von n durch Potenzen von p aus, kodiert die Zählung von Mehrfachen von Primpotenzen in Fakultäten und dient als praktisches Rechenwerkzeug in Teilbarkeits- und p-adischen Untersuchungen.