Fórmula que da el exponente del primo p que divide n!: v_p(n!) = Σ_{k≥1} floor(n/p^k), es decir, la valoración p-ádica de n! es la suma de las partes enteras de n divididas por potencias sucesivas de p hasta que los términos se anulan.

Principio

Contar las contribuciones de múltiplos de p, p^2, p^3, … en n!: cada múltiplo de p aporta al menos un factor p, los múltiplos de p^2 aportan un factor extra, etc.; la suma de las partes enteras agrega exactamente estas contribuciones.

Demostración

Ejemplo: para n=10 y p=2, v_2(10!) = floor(10/2)+floor(10/4)+floor(10/8)+floor(10/16)+… =5+2+1+0+…=8, por lo que 2^8 divide 10! pero 2^9 no.

Aplicación incorrecta

Aplicar la suma infinita sin tomar las partes enteras o olvidar que los términos acaban siendo nulos; o intentar usar la fórmula para objetos distintos de factoriales (p. ej. productos binomiales arbitrarios) sin verificar la estructura combinatoria.

Consecuencia

Proporciona un método eficiente y exacto para calcular valoraciones p-ádicas de factoriales, central en argumentos de divisibilidad, evaluación de valoraciones de coeficientes binomiales y en teoría p-ádica y combinatoria de números.

Inversión

En lugar de sumar floor(n/p^k), se puede ver la valoración de forma combinatoria mediante el conteo de llevadas en la suma en base p (teorema de Kummer), ofreciendo una perspectiva dual: Legendre cuenta múltiplos, Kummer cuenta llevadas en la suma de índices binomiales.

Límite

La fórmula se aplica a n! para enteros n≥0 y primos p; no se generaliza directamente a análogos factoriales no enteros ni a la valoración de secuencias enteras arbitrarias sin una descomposición combinatoria adecuada.

Tensión semántica

Relación estrecha y posible confusión con el teorema de Kummer y técnicas de valoración p-ádica: Legendre da una suma de partes enteras directa, mientras que Kummer caracteriza la valoración de coeficientes binomiales por las llevadas en base p, dos puntos de vista complementarios pero distintos.

Síntesis

La Fórmula de Legendre expresa exactamente la valoración p-ádica de n! como la suma de los floors de n divididos por potencias de p, codificando el recuento de multiplicidades de potencias primas en factoriales y sirviendo como herramienta práctica de cálculo en divisibilidad e investigaciones p-ádicas.