Résultat fondamental en approximation diophantienne affirmant que tout nombre algébrique irrationnel α n'admet pas d'approximations rationnelles p/q arbitrairement bonnes : pour tout ε>0, l'inégalité |α−p/q|<1/q^{2+ε} n'a que finitement de solutions rationnelles p/q. Équivalemment, l'exposant d'approximation d'un algébrique irrationnel est 2.

Principe

Les algébriques irrationnelles résistent à des approximations rationnelles meilleures que le seuil quadratique de Dirichlet ; le théorème force l'exposant d'approximation au minimum diophantien 2, à un epsilon arbitraire près.

Démonstration

Instance concrète : pour α=√2 et tout ε>0 fixé il n'existe qu'un nombre fini de rationnels p/q vérifiant |√2−p/q|<1/q^{2+ε}, contrairement aux nombres de Liouville qui admettent une infinité d'approximations extrêmement bonnes.

Mauvaise application

Considérer Roth comme effectif en affirmant des bornes explicites ou des algorithmes pour toutes les approximations suffisamment bonnes ; la méthode de Roth est inefficace et ne fournit pas de borne calculable pour l'épuisement de l'ensemble fini.

Conséquence

Conduit à des résultats de finitude pour de nombreuses inégalités diophantiennes et soutient des raffinements ultérieurs et des résultats de transference ; il distingue nettement les algébriques irrationnelles des transcendantes quant à la qualité d'approximation.

Inversion

En revanche, les nombres transcendants (et en particulier les nombres de Liouville) peuvent être approchés arbitrairement bien par des rationnels, exhibant des exposants d'approximation supérieurs à 2 voire infinis, de sorte que la conclusion de Roth n'y tient pas.

Limite

S'applique uniquement aux nombres algébriques irrationnels ; il ne concerne pas les rationnels (degré 1) ni directement les transcendants, et il donne une finitude sans fournir la liste effective des exceptions.

Tension sémantique

Tension entre la finitude qualitative de Roth et les résultats effectifs : certains théorèmes d'approximation diophantienne donnent des constantes explicites (par exemple des résultats de type Baker), tandis que Roth donne l'exposant optimal sans constantes effectives, confusion fréquente.

Synthèse

Le Théorème de Roth affirme que les algébriques irrationnelles ont un exposant d'approximation diophantienne égal à 2 : elles n'admettent qu'un nombre fini d'approximations rationnelles dépassant le seuil 1/q^{2+ε}, barrière qualitative décisive séparant le comportement algébrique du comportement transcendantal en approximation.