Resultado fundamental en aproximación diofántica que establece que cualquier número algebraico irracional α no puede ser aproximado por racionales p/q de forma arbitrariamente buena: para todo ε>0 la desigualdad |α−p/q|<1/q^{2+ε} tiene solo finitos soluciones racionales p/q. Equivalente: el exponente de aproximación de un algebraico irracional es 2.

Principio

Los algebraicos irracionales resisten aproximaciones racionales que superen el umbral cuadrático de Dirichlet; el teorema reduce el posible exponente de aproximación al valor diofántico mínimo 2, salvo un arbitrario ε positivo.

Demostración

Instancia concreta: para α=√2 y cualquier ε>0 fijado hay solo finitos racionales p/q con |√2−p/q|<1/q^{2+ε}, a diferencia de los números de Liouville que admiten infinitas aproximaciones extremadamente buenas.

Aplicación incorrecta

Tratar a Roth como efectivo, afirmando cotas explícitas o algoritmos para todas las aproximaciones suficientemente buenas; el método de Roth es inefectivo y no proporciona una cota computable de cuándo se agota el conjunto finito.

Consecuencia

Conduce a resultados de finitud para muchas desigualdades diofánticas y sustenta refinamientos posteriores y resultados de transferencia; distingue de forma nítida a los algebraicos irracionales de los transcendentales en la calidad de aproximación.

Inversión

Por contraste, los números trascendentes (y en particular los de Liouville) pueden aproximarse arbitrariamente bien por racionales, exhibiendo exponentes de aproximación mayores que 2 o incluso infinitos, con lo que la conclusión de Roth no vale para ellos.

Límite

Se aplica únicamente a números algebraicos irracionales; no se aplica a números racionales (grado 1) ni directamente a trascendentes, y proporciona finitud pero no listas efectivas de excepciones.

Tensión semántica

Existe tensión entre la finitud cualitativa de Roth y los resultados efectivos: algunos teoremas de aproximación diofántica dan constantes explícitas (por ejemplo resultados de tipo Baker), mientras que Roth da el exponente óptimo sin constantes efectivas, situación que se confunde con frecuencia.

Síntesis

El Teorema de Roth afirma que los algebraicos irracionales tienen exponente de aproximación diophántico igual a 2: admiten a lo sumo finitos racionales que superen el umbral 1/q^{2+ε}, una barrera cualitativa decisiva que separa el comportamiento algebraico del transcendente en aproximación.