Grundlegendes Resultat der diophantischen Approximation, das besagt, dass jede algebraische irrationale Zahl α nicht beliebig gut durch rationale Zahlen p/q approximiert werden kann: Für jedes ε>0 hat die Ungleichung |α−p/q|<1/q^{2+ε} nur endlich viele rationale Lösungen p/q. Äquivalent ist der Approximations-Exponent algebraischer Irrationalen gleich 2.

Prinzip

Algebraische Irrationale widerstehen rationaler Approximationen jenseits der quadratischen Dirichlet-Schranke; der Satz zwingt den Approximations-Exponent auf den minimalen diophantischen Wert 2, bis auf beliebig kleines ε.

Demonstration

Konkretes Beispiel: für α=√2 gibt es für jedes feste ε>0 nur endlich viele rationale p/q mit |√2−p/q|<1/q^{2+ε}, im Gegensatz zu Liouville-Zahlen, die unendlich viele sehr gute Approximationen zulassen.

Fehlanwendung

Roth als effektiv anzusehen und explizite Grenzen oder Algorithmen für alle hinreichend guten Approximationen zu behaupten; Roths Methode ist ineffektiv und liefert keine berechenbare Schranke dafür, wann die endliche Menge erschöpft ist.

Konsequenz

Führt zu Finitheitsergebnissen für viele diophantische Ungleichungen und bildet die Basis späterer Verfeinerungen und Transferergebnisse; er grenzt algebraische Irrationale scharf von transzendenten Zahlen bezüglich Approxikationsqualität ab.

Umkehrung

Im Gegensatz dazu lassen sich transzendente Zahlen (insbesondere Liouville-Zahlen) beliebig gut durch rationale Zahlen approximieren und weisen Approximations-Exponenten größer als 2 oder sogar unendliche Exponenten auf; Roths Schlussfolgerung gilt dort nicht.

Abgrenzung

Gilt nur für algebraische irrationale Zahlen; nicht anwendbar auf rationale Zahlen (Grad 1) oder direkt auf transzendente Zahlen, und der Satz liefert Finitheit, aber keine effektive Liste der Ausnahmen.

Semantische Spannung

Spannung zwischen Roths qualitativer Finitheit und effektiven Resultaten: Einige Sätze der diophantischen Approximation liefern explizite Konstanten (beispielsweise Baker-Typ), während Roth den optimalen Exponenten ohne effektive Konstanten liefert, was oft verwechselt wird.

Synthese

Roths Satz besagt, dass algebraische Irrationale den diophantischen Approximations-Exponent 2 haben: Sie besitzen höchstens endlich viele rationale Approximationen, die die Schwelle 1/q^{2+ε} überschreiten, eine entscheidende qualitative Schranke gegenüber transzendentem Verhalten.