Un entier positif n est dit puissant si, pour tout premier p divisant n, p^2 divise aussi n ; autrement dit, dans la décomposition n = ∏ p_i^{α_i}, chaque exposant α_i ≥ 2.

Principe

Exiger que chaque facteur premier apparaisse avec un exposant au moins égal à deux ; les nombres puissants sont stables par multiplication par des carrés et peuvent se décrire comme des entiers de la forme a^2·b^3 (avec des nonunicités) dans une caractérisation utile.

Démonstration

72 = 2^3·3^2 est puissant car les premiers divisant 72 sont 2 et 3 et les carrés 2^2 et 3^2 divisent 72 ; les exposants de la factorisation sont 3 et 2, tous ≥ 2.

Mauvaise application

Qualifier de puissant un nombre ayant des facteurs premiers répétés quand un des premiers apparaît seulement à la puissance 1 (par exemple 18 = 2·3^2 n'est pas puissant parce que 2 apparaît à la puissance 1), ou confondre les nombres puissants avec les puissances parfaites.

Conséquence

Les nombres puissants ont un comportement simplifié pour certaines fonctions arithmétiques multiplicatives et interviennent dans l'étude de solutions entières d'équations nécessitant une forte multiplicité première ; ils constituent un sous-ensemble infini mais clairsemé des entiers.

Inversion

La classe complémentaire contient les entiers ayant au moins un facteur premier à la puissance 1 ; inverser la condition autorise les nombres premiers et les entiers sans carré premier, au lieu d'exiger que les premiers soient au moins au carré.

Limite

La définition s'applique uniquement aux entiers positifs et dépend de la factorisation en nombres premiers ; les nombres possédant un facteur premier d'exposant un en sont exclus. La représentation sous la forme a^2·b^3 n'est pas canonique et doit être maniée avec prudence ; la propriété de puissance est stable par multiplication par un carré.

Tension sémantique

Proche du concept 'squarefull' (carré-plein), souvent synonyme, et du concept 'puissance parfaite' ; la tension vient du fait que 'puissance parfaite' exige une puissance globale commune tandis que 'puissant' impose la condition exposant par exposant ≥2.

Synthèse

Un nombre puissant est un entier positif dont la décomposition en facteurs premiers n'admet aucun exposant égal à un, c’est-à-dire que chaque premier divisant le nombre le divise au moins au carré, fournissant des nombres riches en facteurs premiers répétés.