Eine positive ganze Zahl n heißt leistungsstark (powerful), wenn für jede Primzahl p, die n teilt, auch p^2 n teilt; äquivalent: in der Primfaktorzerlegung n = ∏ p_i^{α_i} gilt für alle α_i ≥ 2.

Prinzip

Fordere, dass jeder Primfaktor mit Exponent mindestens zwei erscheint; 'powerful'-Zahlen sind unter Multiplikation mit Quadraten abgeschlossen und lassen sich in einer nützlichen Darstellung als a^2·b^3 schreiben (ohne Eindeutigkeit).

Demonstration

72 = 2^3·3^2 ist powerful, weil die Primteiler 2 und 3 beide mindestens quadratisch vorkommen; die Exponenten sind 3 und 2, beide ≥ 2.

Fehlanwendung

Zahlen fälschlich als powerful bezeichnen, wenn ein Primfaktor nur in erster Potenz vorkommt (z. B. 18 = 2·3^2 ist nicht powerful, da 2^1 vorkommt), oder powerful mit perfekten Potenzen verwechseln.

Konsequenz

Powerful-Zahlen zeigen vereinfachtes Verhalten bei bestimmten multiplikativen arithmetischen Funktionen und treten in der Untersuchung ganzer Lösungen von Gleichungen auf, die hohe Primfaktormultiplikität erfordern; sie bilden eine dünne, aber unendliche Teilmenge der natürlichen Zahlen.

Umkehrung

Die Gegenklasse besteht aus Zahlen, die mindestens einen Primfaktor in Exponent eins haben; die Umkehrung der Bedingung erlaubt Primzahlen und quadratfreie Zahlen statt der Forderung auf quadratische Primteile.

Abgrenzung

Definition gilt nur für positive ganze Zahlen und beruht auf der Primfaktorzerlegung; Zahlen mit einem Primfaktor der Exponent eins sind ausgeschlossen. Die Darstellung als a^2·b^3 ist nicht kanonisch und ist mit Vorsicht zu verwenden; Powerful-Sein ist invariant beim Multiplizieren mit Quadraten.

Semantische Spannung

Nah am Begriff 'squarefull' (quadratvoll), der oft synonym gebraucht wird, und am Begriff der perfekten Potenz; die Spannung liegt darin, dass perfekte Potenzen eine gemeinsame Potenzordnung verlangen, während 'powerful' pro Primfaktor die Bedingung Exponent≥2 stellt.

Synthese

Eine powerful-Zahl ist eine positive ganze Zahl, deren Primfaktorzerlegung keine Exponenten von eins enthält, das heißt jede Primzahl, die n teilt, teilt n mindestens quadratisch.