Un entero positivo n se llama potente (powerful) si para cada primo p que divide a n, p^2 también divide a n; equivalente a decir que en la factorización n = ∏ p_i^{α_i} todos los exponentes α_i ≥ 2.

Principio

Exigir que cada factor primo aparezca con exponente al menos dos; los números potentes son estables bajo multiplicación por cuadrados y pueden describirse en una forma útil como a^2·b^3 (no única) en una caracterización práctica.

Demostración

72 = 2^3·3^2 es potente porque los primos que dividen 72, 2 y 3, aparecen al menos al cuadrado; los exponentes en la factorización son 3 y 2, ambos ≥ 2.

Aplicación incorrecta

Llamar potente a un número que tiene factores primos repetidos cuando alguno aparece sólo en primera potencia (por ejemplo, 18 = 2·3^2 no es potente porque 2 aparece con exponente 1), o confundir números potentes con potencias perfectas.

Consecuencia

Los números potentes muestran un comportamiento simplificado para ciertas funciones aritméticas multiplicativas y aparecen en el estudio de soluciones enteras a ecuaciones que requieren alta multiplicidad prima; forman un subconjunto infinito pero ralo de los enteros.

Inversión

La clase complementaria son enteros que tienen al menos un factor primo en primera potencia; invertir la condición permite primos y números libres de cuadrados en lugar de exigir primos al menos al cuadrado.

Límite

La definición se aplica sólo a enteros positivos y depende de la factorización en primos; se excluyen números con algún factor primo de exponente uno. La representación como a^2·b^3 no es canónica y debe emplearse con cuidado; la propiedad de ser potente es estable bajo multiplicación por cuadrados.

Tensión semántica

Cerca del concepto 'squarefull' (a veces sinónimo) y del de 'potencia perfecta'; la tensión aparece porque 'potencia perfecta' requiere una potencia común global mientras que 'potente' impone la condición por primo de exponente ≥2.

Síntesis

Un número potente es un entero positivo cuya descomposición en primos no contiene exponentes iguales a uno, es decir, cada primo que lo divide lo hace al menos al cuadrado, produciendo números con abundante repetición de factores primos.