Un entier positif de la forme p^k où p est un nombre premier et k est un entier positif (k ≥ 1).

Principe

Construire des entiers par multiplication répétée d'un même facteur premier ; une puissance d'un nombre premier n'a qu'un seul premier distinct dans sa décomposition et l'exposant k indique sa multiplicité.

Démonstration

27 = 3^3 est une puissance d'un nombre premier avec p=3 et k=3 ; son seul diviseur premier est 3 et ses diviseurs sont 1,3,9,27.

Mauvaise application

Considérer par erreur certains cas (par exemple prendre p^0=1 comme puissance première lorsque la définition exige k≥1) ou confondre les puissances premières avec les nombres premiers quand k>1.

Conséquence

Les puissances de nombres premiers ont une place simple dans la structure multiplicative : leur ordre multiplicatif modulo d'autres nombres et le comportement des fonctions arithmétiques sont plus faciles à analyser car un seul premier intervient.

Inversion

La classe inverse contient les entiers qui ne sont pas des puissances d'un seul premier, c'est-à-dire ceux qui ont au moins deux facteurs premiers distincts ; leur structure multiplicative est plus complexe.

Limite

Inclut 1 seulement si l'on autorise k=0 par convention, mais la définition standard exige k ≥ 1, donc 1 est exclu ; s'applique exclusivement aux entiers positifs et aux factorisations à un seul premier, excluant les nombres composés à plusieurs facteurs premiers distincts.

Tension sémantique

Proche du concept de 'nombre premier' mais différent : les nombres premiers correspondent à k=1 ; des tensions surviennent quand des propriétés valables pour les premiers échouent pour des puissances premières d'exposant supérieur.

Synthèse

Une puissance d'un nombre premier est un entier obtenu en élevant un seul nombre premier à un exposant entier positif, produisant des nombres dont la décomposition ne comporte qu'un premier distinct.