Un caractère de Dirichlet modulo N est une fonction arithmétique complètement multiplicative χ : Z → C périodique de période N, qui s'annule sur les entiers non premiers à N et qui se factorise par le groupe des unités (Z/NZ)^× via un homomorphisme de groupes vers C^×.

Principe

Construire des caractères comme extensions par zéro d'homomorphismes de groupes depuis le groupe multiplicatif des unités modulo N vers les nombres complexes non nuls ; utiliser leur orthogonalité et leur multiplicativité pour isoler des progressions arithmétiques et construire des séries L.

Démonstration

Pour le module 4, le caractère non principal χ défini par χ(1)=1, χ(3)=-1 et χ(n pair)=0 est un caractère de Dirichlet ; il distingue les résidus 1 et 3 modulo 4 et intervient comme poids dans L(s,χ) pour étudier les nombres premiers ≡1 ou 3 mod 4.

Mauvaise application

Employer une fonction périodique modulo N qui n'est pas multiplicative ou qui ne s'annule pas sur les entiers non premiers à N ; confondre des caractères additifs e^{2πikn/N} avec des caractères de Dirichlet ou omettre de vérifier la primitivité et le conducteur.

Conséquence

Les caractères de Dirichlet donnent lieu à des séries L de Dirichlet aux propriétés analytiques et obéissent à des relations d'orthogonalité qui permettent de moyenner sur les résidus et de démontrer des résultats tels que le théorème de Dirichlet sur les nombres premiers dans les progressions arithmétiques.

Inversion

Le renversement serait un caractère additif ou une fonction multiplicative générale dépourvue de périodicité modulo N ; ceux-ci ne se factorisent pas par (Z/NZ)^× et n'ont donc pas les relations d'orthogonalité des caractères de Dirichlet.

Limite

Défini relativement à un module N et à valeurs dans C ; il faut distinguer caractère principal et caractère primitif (conducteur) et noter que toute fonction complètement multiplicative périodique n'est pas nécessairement un caractère sauf si elle s'annule sur les entiers non premiers à N et se factorise par le groupe des unités.

Tension sémantique

Proche de notions telles que caractère primitif, caractère réel ou complexe, et caractères de Hecke (ou de Grössen) ; des confusions peuvent survenir entre ces objets et d'autres coefficients multiplicatifs employés dans les séries L.

Synthèse

Un caractère de Dirichlet modulo N est une application multiplicative, N-périodique, des entiers vers les complexes induite par un homomorphisme sur (Z/NZ)^× et étendue par zéro sur les entiers non premiers à N, constituant une brique fondamentale des séries L de Dirichlet et de l'orthogonalité des classes de résidus.