Un carácter de Dirichlet módulo N es una función aritmética completamente multiplicativa χ: Z → C que es periódica de periodo N, se anula sobre enteros no coprimos con N y se factoriza a través del grupo de unidades (Z/NZ)^× mediante un homomorfismo de grupos hacia C^×.

Principio

Construir caracteres como extensiones por cero de homomorfismos de grupos desde el grupo multiplicativo de unidades módulo N hacia los complejos no nulos; emplear su ortogonalidad y multiplicatividad para aislar progresiones aritméticas y formar series L.

Demostración

Para el módulo 4, el carácter no principal χ con χ(1)=1, χ(3)=-1 y χ(n par)=0 es un carácter de Dirichlet; distingue las clases 1 y 3 módulo 4 y aparece como peso en L(s,χ) para estudiar primos ≡1 o 3 mod 4.

Aplicación incorrecta

Usar una función periódica módulo N que no sea multiplicativa o que no se anule en los enteros no coprimos con N; confundir caracteres aditivos e^{2πikn/N} con caracteres de Dirichlet o no comprobar primitividad y conductor.

Consecuencia

Los caracteres de Dirichlet generan series L de Dirichlet con propiedades analíticas y satisfacen relaciones de ortogonalidad que permiten promediar sobre residuos y probar resultados como el teorema de Dirichlet sobre primos en progresiones aritméticas.

Inversión

La inversión sería un carácter aditivo o una función multiplicativa general sin periodicidad módulo N; éstos no se factoran por (Z/NZ)^× y por tanto carecen de las relaciones de ortogonalidad de los caracteres de Dirichlet.

Límite

Definido respecto de un módulo N y con valores en C; hay que distinguir entre carácter principal y primitivo (conductor) y observar que no toda función periódica completamente multiplicativa es un carácter a menos que se anule en entradas no coprimas y se factorice por el grupo de unidades.

Tensión semántica

Relacionado con nociones como carácter primitivo, carácter real o complejo y caracteres de Hecke (o de Grössen); pueden producirse confusiones entre estos y otros coeficientes multiplicativos usados en series L.

Síntesis

Un carácter de Dirichlet módulo N es una aplicación multiplicativa y periódica de periodo N inducida por un homomorfismo sobre (Z/NZ)^× y extendida por cero en enteros no coprimos, constituyendo un bloque básico en la construcción de series L de Dirichlet y en la ortogonalidad por clases de residuos.