Ein Dirichlet-Charakter modulo N ist eine vollständig multiplikative arithmetische Funktion χ: Z → C, die periodisch mit Periode N ist, auf Zahlen, die nicht teilerfremd zu N sind, verschwindet und durch die Einheitengruppe (Z/NZ)^× über einen Gruppenhomomorphismus nach C^× faktorisiert.

Prinzip

Charaktere werden als Durch-Null-Erweiterungen von Gruppenhomomorphismen von der multiplikativen Einheitengruppe modulo N in die nichtverschwindenden komplexen Zahlen konstruiert; man nutzt ihre Orthogonalität und Multiplikativität, um Restklassen zu isolieren und L-Reihen aufzubauen.

Demonstration

Für den Modulus 4 ist der nichttriviale Charakter χ mit χ(1)=1, χ(3)=-1 und χ(gerade)=0 ein Dirichlet-Charakter; er unterscheidet die Reste 1 und 3 modulo 4 und tritt als Gewicht in L(s,χ) auf, um Primzahlen ≡1 oder 3 mod 4 zu untersuchen.

Fehlanwendung

Eine periodische Funktion modulo N zu verwenden, die nicht multiplikativ ist oder nicht auf nicht teilerfremden Zahlen verschwindet; additive Charaktere e^{2πikn/N} mit Dirichlet-Charakteren zu verwechseln oder die Primitivität bzw. den Leiter (conductor) nicht zu prüfen.

Konsequenz

Dirichlet-Charaktere erzeugen Dirichlet-L-Reihen mit analytischen Eigenschaften und erfüllen Orthogonalitätsrelationen, die Mittelungen über Resteklassen ermöglichen und Resultate wie den Dirichlet-Satz über Primzahlen in arithmetischen Progressionen beweisen.

Umkehrung

Die Umkehr wäre ein additiver Charakter oder eine allgemeine multiplikative Funktion ohne Periodizität modulo N; diese faktorieren nicht durch (Z/NZ)^× und besitzen daher nicht die Orthogonalitätsrelationen der Dirichlet-Charaktere.

Abgrenzung

Definiert relativ zu einem Modulus N und mit Werten in C; man muss zwischen primärem und primitive(n) Charakteren (Leiter) unterscheiden und beachten, dass nicht jede vollständig multiplikative periodische Funktion ein Charakter ist, solange sie nicht auf nicht-teilerfremden Eingaben verschwindet und durch die Einheitengruppe faktorisiert.

Semantische Spannung

Nahe verwandte Begriffe sind primitiver Charakter, reeller oder komplexer Charakter und Hecke- (oder Größen-)Charaktere; Verwechslungen mit anderen multiplikativen Koeffizienten in L-Reihen kommen häufig vor.

Synthese

Ein Dirichlet-Charakter modulo N ist eine multiplikative, N-periodische Abbildung der ganzen Zahlen in die komplexen Zahlen, induziert durch einen Homomorphismus auf (Z/NZ)^× und um null für nicht-teilerfremde Zahlen erweitert; er bildet eine grundlegende Baustein der Dirichlet-L-Reihen und der Orthogonalität von Restklassen.