Un point d'image ou de bord isolé en lequel k branches locales distinctes ou feuilles d'une application ou d'un objet géométrique se rencontrent pour un entier k ≥ 3, produisant une intersection de multiplicité k plutôt qu'un simple nœud transverse.

Principe

Un point multiple se classe par le nombre de branches locales distinctes se rejoignant en l'image et par leurs tangences et ordres d'intersection mutuels ; la multiplicité compte des feuilles géométriques plutôt que de simples coïncidences algébriques.

Démonstration

Une configuration plane formée de trois arcs ou droites lisses distincts se croisant en un seul point (par exemple trois droites passant par l'origine avec des directions deux à deux distinctes) produit un Point Multiple triple où trois branches locales se rencontrent en ce point.

Mauvaise application

Employer « Point Multiple » pour désigner tout voisinage compliqué ou toute auto-intersection dense, ou confondre un point double transverse (nœud) avec un véritable point multiple de multiplicité trois ou plus.

Conséquence

Les points multiples modifient le type topologique local et les nombres d'intersection, affectent des invariants tels que la contribution locale au genre ou au tressage, et contraignent les déformations admissibles ; leur résolution exige souvent un éclatement ou une normalisation locale.

Inversion

Le concept inverse est le point double transverse simple (nœud) ou le point régulier : des situations où au plus deux branches locales distinctes se rencontrent transversalement ou aucune ramification n'a lieu.

Limite

Concerne les intersections isolées de branches lisses ou analytiques où le nombre de feuilles locales distinctes est fini et bien défini ; exclut les points d'accumulation d'intersections, les lieux singuliers non isolés et les comportements pathologiques non variétaux.

Tension sémantique

Est en tension avec l'idée de « singularité de haute multiplicité » qui met l'accent sur la multiplicité algébrique d'une fonction définissante ; ici l'accent porte sur les branches géométriques distinctes, ce qui peut différer de la multiplicité algébrique dans des situations non réduites.

Synthèse

Un Point Multiple est un point d'image isolé où trois branches géométriques distinctes ou plus se rencontrent ; il se mesure par le nombre de branches et les ordres de contact, a des conséquences topologiques et énumératives, et se distingue des nœuds doubles simples ou des intersections non isolées.