Ein isolierter Rand- oder Bildpunkt, an dem k verschiedene lokale Zweige oder Blätter einer Abbildung oder eines geometrischen Objekts für ein ganzzahliges k ≥ 3 zusammentreffen und so eine Schnittstelle der Vielfachheit k statt eines einfachen transversalen Doppelpunktes erzeugen.

Prinzip

Ein Mehrfachpunkt wird durch die Anzahl der an der Bildstelle zusammentreffenden lokalen Urbildzweige und durch deren gegenseitige Tangentialität und Schnittordnungen charakterisiert; die Vielfachheit zählt geometrische Blätter und nicht nur algebraische Koindidenz.

Demonstration

Eine ebene Konfiguration aus drei verschiedenen glatten Bögen oder Geraden, die sich in einem Punkt schneiden (beispielsweise drei Geraden durch den Ursprung mit paarweise verschiedenen Richtungen), liefert einen Dreifachen Mehrfachpunkt, an dem drei lokale Zweige zusammentreffen.

Fehlanwendung

Den Begriff 'Mehrfachpunkt' auf jede komplizierte Nachbarschaft oder dichte Selbstschnittstelle anzuwenden oder einen transversalen Doppelpunkt (Knoten) fälschlich als echten Mehrfachpunkt der Vielfachheit drei oder mehr zu bezeichnen.

Konsequenz

Mehrfachpunkte ändern den lokalen topologischen Typ und Schnittzahlen, beeinflussen Invarianten wie den lokalen Beitrag zum Geschlecht oder zur Verknüpfung und schränken zulässige Deformationen ein; ihre Auflösung erfordert oft Aufblasungen oder lokale Normalisierung.

Umkehrung

Das Gegenteil ist ein einfacher transversaler Doppelpunkt (Knoten) oder ein regulärer Punkt: Situationen, in denen höchstens zwei verschiedene lokale Zweige transversal zusammentreffen oder keine Verzweigung vorliegt.

Abgrenzung

Betrifft isolierte Schnitte glatter oder analytischer Zweige, bei denen die Anzahl der verschiedenen lokalen Blätter endlich und wohldefiniert ist; schließt Anhäufungspunkte von Schnitten, nicht isolierte singuläre Orte und pathologische Nicht-Mannigfaltigkeits-Verhalten aus.

Semantische Spannung

Steht im Spannungsverhältnis zu Begriffen wie 'Singularität hoher Vielfachheit', die die algebraische Vielfachheit einer definierenden Funktion betonen; hier steht die Zählung geometrisch getrennter Zweige im Vordergrund, was in nicht reduzierten Fällen abweichen kann.

Synthese

Ein Mehrfachpunkt ist ein isolierter Bildpunkt, an dem drei oder mehr verschiedene lokale geometrische Zweige zusammentreffen; er wird durch Zweiganzahl und Kontaktordnungen gemessen, hat klare topologische und enumerative Folgen und unterscheidet sich von einfachen Doppelknoten oder nicht isolierten Schnitten.