Un punto de frontera o de la imagen aislado en el que k ramas locales distintas o hojas de una aplicación u objeto geométrico se encuentran para algún entero k ≥ 3, produciendo una intersección de multiplicidad k en lugar de un punto doble transversal simple.

Principio

Un Punto Múltiple se clasifica por el número de ramas locales distintas que se reúnen en la imagen y por sus órdenes mutuos de tangencia e intersección; la multiplicidad cuenta hojas geométricas distintas más que coincidencias algébricas puras.

Demostración

Una configuración plana formada por tres arcos o rectas suaves distintas que se cruzan en un único punto (por ejemplo, tres rectas que pasan por el origen con direcciones mutuamente distintas) produce un Punto Múltiple triple donde tres ramas locales coinciden en ese punto.

Aplicación incorrecta

Usar 'Punto Múltiple' para rotular cualquier vecindad complicada o una autointersección densa, o confundir un punto doble transversal (nodo) con un auténtico punto múltiple de multiplicidad tres o más.

Consecuencia

Los puntos múltiples alteran el tipo topológico local y los números de intersección, afectan invariantes como la contribución local al género o al enlace, y restringen las deformaciones admisibles; su resolución suele requerir una explosión (blow up) o normalización local.

Inversión

El reverso es un punto doble transversal simple (nodo) o un punto regular: situaciones en las que como mucho dos ramas locales distintas se encuentran transversalmente o no ocurre ramificación.

Límite

Se refiere a intersecciones aisladas de ramas suaves o analíticas en las que el número de hojas locales distintas es finito y está bien definido; excluye puntos de acumulación de intersecciones, lugares singulares no aislados y comportamientos patológicos no manifold.

Tensión semántica

En tensión con la noción de 'singularidad de alta multiplicidad' que enfatiza la multiplicidad algebraica de una función definitoria; aquí se enfatiza el recuento de ramas geométricas distintas, lo que puede diferir de la multiplicidad algebraica en contextos no reducidos.

Síntesis

Un Punto Múltiple es un punto de la imagen aislado donde tres o más ramas geométricas locales distintas se encuentran; se mide por el número de ramas y los órdenes de contacto, tiene consecuencias topológicas y enumerativas y se distingue de nodos dobles simples o intersecciones no aisladas.