Un point singulier local de corang un d'une application lisse entre variétés où, dans des coordonnées locales appropriées, l'application prend une forme normale quadratique en une direction transversale, de sorte qu'une hypersurface est projetée en produisant un pli ou une crête ; classiquement appelé pli de Whitney.

Principe

Le principe est que la singularité de pli est l'obstruction générique et stable de corang un : la perte d'immersion se limite à une unique direction transversale et s'exprime par une annulation quadratique non dégénérée, fournissant une forme normale canonique modulo changements de coordonnées.

Démonstration

Considérer l'application lisse F : R^2 -> R^2 définie par F(x,y) = (x, y^2). La droite y = 0 est le lieu des points non immersifs ; près de l'origine l'image se plie le long de l'axe x et la singularité est une Singularité De Pli au sens de Whitney.

Mauvaise application

Qualifier de pli toute arête, coin aigu, cuspide ou dégénérescence de corang supérieur ; par exemple étiqueter une cuspide ou un point de branchement comme une Singularité De Pli néglige la forme normale quadratique requise de corang un.

Conséquence

Identifier un pli conduit à une classification locale stable, prédit un comportement à deux feuilles d'un côté du pli et une feuille unique de l'autre, et permet d'utiliser des formes normales locales et des analyses par perturbation qui persistent sous petites déformations lisses.

Inversion

L'inverse est une singularité d'ordre supérieur ou de corang supérieur telle qu'une cuspide ou une queue d'aronde, où l'annulation transversale est d'ordre supérieur ou implique plusieurs directions ; contrairement au pli, elles ne se ramènent pas à la forme normale quadratique de corang un.

Limite

S'applique aux applications lisses entre variétés différentiables (ou variétés à bord) et aux lieux isolés de corang un ; exclut les points doubles transverses, les accumulations non isolées de singularités et les singularités nécessitant un corang supérieur ou des données de jets plus complexes.

Tension sémantique

Diffère des usages informels de « pli » en modélisation géométrique ou en origami : la Singularité De Pli est une forme normale analytique précise, tandis que le « pli » courant peut désigner toute crête indépendamment du corang ou du comportement quadratique.

Synthèse

La Singularité De Pli est la crête canonique, génériquement stable et de corang un d'une application lisse, caractérisée par une forme normale quadratique en une coordonnée transversale ; elle organise le comportement deux-feuilles/une-feuille local et se distingue des cuspides et des défaillances de corang supérieur.