Una singularidad local de corango uno de una aplicación suave entre variedades en la que la aplicación, en coordenadas locales adecuadas, posee la forma normal cuadrática estándar en una dirección transversal, de modo que una hipersuperficie se proyecta formando un pliegue o doblez; clásicamente llamada pliegue de Whitney.

Principio

El principio es que la singularidad de pliegue es la obstrucción genérica y estable de corango uno: el fallo de ser una inmersión se concentra en una única dirección transversal y se modela por una anulación cuadrática no degenerada, lo que da una forma normal canónica bajo cambios de coordenadas.

Demostración

Considérese la aplicación suave F: R^2 -> R^2 dada por F(x,y) = (x, y^2). La recta y = 0 es el lugar de los puntos no inmersivos; cerca del origen la imagen se pliega a lo largo del eje x y la singularidad es una Singularidad De Pliegue en el sentido de Whitney.

Aplicación incorrecta

Denominar pliegue a cualquier arista, esquina aguda, cúspide o degeneración de corango superior; por ejemplo, etiquetar una cúspide o un punto de rama como una Singularidad De Pliegue ignora la forma normal cuadrática requerida de corango uno.

Consecuencia

Identificar un pliegue proporciona una clasificación local estable, predice comportamiento de dos hojas a un lado del pliegue y una sola hoja al otro lado, y permite formas normales locales y análisis por perturbaciones que persisten ante pequeñas deformaciones suaves.

Inversión

La inversión es una singularidad de orden superior o de corango mayor, como una cúspide o un swallowtail, donde la anulación transversal es de orden superior o implica más de una dirección; a diferencia del pliegue, estas no se reducen a la forma normal cuadrática de corango uno.

Límite

Se aplica a aplicaciones suaves entre variedades diferenciables (o variedades con borde) y a loci aislados de corango uno; excluye puntos dobles transversales, acumulaciones no aisladas de singularidades y singularidades que requieren corango superior o datos de jets más complejos.

Tensión semántica

Se distingue del uso informal de 'pliegue' en modelado geométrico u origami: la Singularidad De Pliegue es una forma normal analítica precisa, mientras que 'pliegue' en el habla común puede denotar cualquier doblez sin relación con el corango o el comportamiento cuadrático.

Síntesis

Una Singularidad De Pliegue es la cresta canónica, genéricamente estable y de corango uno de una aplicación suave, caracterizada por una forma normal cuadrática en una coordenada transversal; organiza el comportamiento local de dos hojas frente a una y se diferencia de cúspides y fallos de corango superior.