Ein lokaler Korang-eins-Singularpunkt einer glatten Abbildung zwischen Mannigfaltigkeiten, bei dem die Abbildung in geeigneten lokalen Koordinaten in einer transversalen Richtung die standardmäßige quadratische Normalform besitzt, sodass eine Hyperebene mit einer Falte oder Knick abgebildet wird; klassisch als Whitney-Falte bezeichnet.

Prinzip

Das Prinzip ist, dass die Faltensingularität die generische, stabile Korang-eins-Obstruktion darstellt: der Ausfall der Immersion ist auf eine einzelne transversale Richtung beschränkt und wird durch eine nicht entartete quadratische Nullstelle modelliert, was eine kanonische Normalform unter Koordinatenwechseln ergibt.

Demonstration

Betrachte die glatte Abbildung F: R^2 -> R^2 mit F(x,y) = (x, y^2). Die Linie y = 0 ist die Menge der nicht immersiven Punkte; in der Nähe des Ursprungs faltet sich das Bild entlang der x-Achse, und die Singularität ist eine Faltensingularität im Sinne von Whitney.

Fehlanwendung

Jede Kante, scharfe Ecke, Spitze oder höherkorangige Entartung als Falte zu bezeichnen; beispielsweise eine Spitzen-Singularität (cusp) oder einen Verzweigungspunkt als Faltensingularität einzustufen, ignoriert die erforderliche korang-eins-quadratische Normalform.

Konsequenz

Die Erkennung einer Falte liefert eine stabile lokale Klassifikation, sagt ein zweiseitiges Verzweigungsverhalten auf der einen und ein einseitiges auf der anderen Seite voraus und ermöglicht lokale Normalformen sowie Störungsanalysen, die unter kleinen glatten Deformationen erhalten bleiben.

Umkehrung

Die Umkehr ist eine höhergradige oder höherkorangige Singularität wie eine Spitze oder ein Schwänzchen (swallowtail), bei der das transversale Verschwinden höherer Ordnung ist oder mehrere Richtungen umfasst; im Gegensatz zur Falte lassen sich diese nicht in die quadratische Korang-eins-Normalform überführen.

Abgrenzung

Gilt für glatte Abbildungen zwischen differenzierbaren Mannigfaltigkeiten (oder Mannigfaltigkeiten mit Rand) und für isolierte Korang-eins-Loci; schließt transversale Doppelpunkte, nicht-isolierte Anhäufungen von Singularitäten und Singuläritäten aus, die höheren Korang oder kompliziertere Jet-Daten erfordern.

Semantische Spannung

Unterscheidet sich vom informellen Gebrauch von „Falte“ in geometrischer Modellierung oder Origami: die analytische Faltensingularität ist eine präzise lokale Normalform, während „Falte“ im Alltag jede Knickbildung bezeichnen kann, unabhängig von Korang oder quadratischem Verhalten.

Synthese

Eine Faltensingularität ist die kanonische, generisch stabile Korang-eins-Knickstelle einer glatten Abbildung, charakterisiert durch eine quadratische Normalform in einer transversalen Koordinate; sie organisiert das lokale Zwei-Blatt-vs-Ein-Blatt-Verhalten und grenzt sich von Spitzen- und höherkorangigen Ausfällen ab.