Un point singulier sur une courbe ou une surface où deux branches locales lisses se rencontrent transversalement, produisant un croisement simple de multiplicité deux ; modélisé localement par l'équation xy = 0 dans des coordonnées appropriées.

Principe

Intersection transversale de deux composantes locales lisses de multiplicité d'intersection deux : les directions tangentes sont distinctes et le type analytique local se décompose en deux branches lisses se croisant simplement.

Démonstration

Une courbe plane algébrique donnée localement par f(x,y)=xy possède deux branches lisses {x=0} et {y=0} se rencontrant à l'origine ; topologiquement le lien est constitué de deux arcs se croisant et la singularité se résout par un seul éclatement.

Mauvaise application

Qualifier un tacnode ou un cuspide de point double ; ceux-ci présentent une tangence d'ordre supérieur ou une seule branche se recroisant et ne sont pas des croisements transverses à deux branches.

Conséquence

Les calculs locaux (nombres d'intersection, contribution à l'invariant δ) et la description topologique sont simples ; en déformation on peut généralement lisser le point en deux points distincts voisins ou le résoudre par une opération élémentaire.

Inversion

Si les deux branches locales partagent la même direction tangentielle (sont tangentes), la singularité n'est pas un point double mais une singularité de tangence supérieure telle qu'un tacnode.

Limite

S'applique aux singularités isolées formées par deux branches transverses sur des courbes ou des hypersurfaces ; exclut les auto-intersections non isolées, les singularités de multiplicité supérieure et les singularités issues d'une seule branche (cuspidales).

Tension sémantique

Concurrence avec 'tacnode' et 'cuspide' dans les descriptions informelles de «où deux choses se rejoignent» ; le point double insiste sur un croisement transverse de multiplicité deux, tandis que le tacnode et la cuspide insistent sur la tangence ou la dégénérescence d'une seule branche.

Synthèse

Le point double est la singularité de croisement isolée la plus simple : deux branches locales lisses distinctes s'intersectent avec des directions tangentes distinctes, équivalentes localement à xy=0, et possèdent des invariants locaux et une résolution élémentaire prévisibles.