Un punto singular en una curva o superficie donde dos ramas locales suaves se encuentran transversalmente, produciendo un cruce simple de multiplicidad dos; modelado localmente por la ecuación xy = 0 en coordenadas adecuadas.

Principio

Intersección transversal de dos componentes locales suaves con multiplicidad de intersección dos: las direcciones tangentes son distintas y el tipo analítico local se descompone en dos ramas suaves que se cruzan simplemente.

Demostración

Una curva algebraica plana dada localmente por f(x,y)=xy tiene dos ramas suaves {x=0} y {y=0} que se encuentran en el origen; topológicamente el enlace son dos arcos que se cruzan y la singularidad puede resolverse mediante una única elevación (blowup).

Aplicación incorrecta

Calificar un tacnodo o una cúspide como punto doble; estos presentan tangencia de orden superior o una sola rama con autointersección y no son cruces transversales de dos ramas.

Consecuencia

Se aplican cálculos locales (números de intersección, contribución al invariante δ) y descripciones topológicas sencillas; en deformación, típicamente puede suavizarse en dos puntos cercanos distintos o resolverse por una operación elemental.

Inversión

Si las dos ramas locales comparten la misma dirección tangente (son tangentes), la singularidad no es un punto doble sino una singularidad de tangencia de orden superior como un tacnodo.

Límite

Se aplica a singularidades aisladas, transversales y de dos ramas en curvas o hipersuperficies; excluye auto-intersecciones no aisladas, singularidades de mayor multiplicidad y singularidades originadas por una sola rama (cúspides).

Tensión semántica

Compite con 'tacnodo' y 'cúspide' en descripciones informales de «dónde se encuentran dos cosas»; el punto doble enfatiza un cruce transversal de multiplicidad dos, mientras que el tacnodo y la cúspide enfatizan tangencia o degeneración de una sola rama.

Síntesis

Un punto doble es la singularidad de cruce aislada más simple: dos ramas locales suaves y distintas se intersecan con direcciones tangentes distintas, localmente equivalente a xy=0, con invariantes locales y resolución elemental previsibles.