Ein singulärer Punkt auf einer Kurve oder Fläche, an dem zwei glatte lokale Zweige transversal zusammentreffen und eine einfache Kreuzung der Multiplizität zwei erzeugen; lokal modelliert durch die Gleichung xy = 0 in geeigneten Koordinaten.

Prinzip

Transversale Schnittstelle zweier glatter lokaler Komponenten mit Schnittmultiplizität zwei: Die Tangentialrichtungen sind verschieden und der lokale analytische Typ zerfällt in zwei glatte, sich einfach kreuzende Zweige.

Demonstration

Eine ebene algebraische Kurve, lokal beschrieben durch f(x,y)=xy, hat zwei glatte Zweige {x=0} und {y=0}, die sich am Ursprung treffen; topologisch ist das Verknüpfungsbild zwei kreuzende Bögen, und die Singularität lässt sich durch einen einzelnen Blow-up auflösen.

Fehlanwendung

Ein Tacnode oder einen Spitzpunkt (Cusp) als Doppelstelle bezeichnen; diese haben höhergradige Tangentialität oder bestehen aus einem einzelnen Zweig mit Selbstüberschneidung und sind keine transversalen Zwei-Zweig-Kreuzungen.

Konsequenz

Lokale Rechnungen (Schnittzahlen, Beitrag zur δ-Invariante) und einfache topologische Beschreibungen sind anwendbar; in der Deformation lässt sich die Stelle typischerweise in zwei nahe beieinanderliegende Punkte glätten oder durch eine einzige einfache Operation auflösen.

Umkehrung

Wenn die beiden lokalen Zweige dieselbe Tangentialrichtung teilen (tangent sind), handelt es sich nicht um eine Doppelstelle, sondern um eine höhergradige Tangentialität wie ein Tacnode.

Abgrenzung

Gilt für isolierte, transversale Zwei-Zweig-Singularitäten auf Kurven oder Hypersurfaces; schließt nicht isolierte Selbstüberschneidungen, höherordentliche Singularitäten und Einzweig-Singularitäten (Cusps) aus.

Semantische Spannung

Steht im Spannungsfeld zu 'Tacnode' und 'Cusp' bei informellen Beschreibungen von Schnittpunkten; die Doppelstelle betont transverse, multizwei Kreuzung, während Tacnode und Cusp Tangentialität bzw. Einzweig-Degeneration hervorheben.

Synthese

Eine Doppelstelle ist die einfachste isolierte Kreuzungssingularität: zwei verschiedene glatte lokale Zweige schneiden sich mit verschiedenen Tangentialrichtungen, sind lokal äquivalent zu xy=0 und haben vorhersagbare lokale Invarianten und eine elementare Auflösung.