Le theorem de Hopf (Umlaufsatz) affirme que pour une courbe fermée régulière et simple du plan l'angle total de rotation signé du vecteur tangent parcouru une fois le long de la courbe vaut 2π fois l'indice de rotation de la courbe ; en d'autres termes, l'indice de rotation mesure combien de fois le tangent effectue un tour complet.

Principe

La rotation totale du vecteur tangent le long d'une courbe fermée régulière est un multiple entier de 2π, et cet entier (l'indice de rotation) est une invariante topologique de la classe d'immersion de la courbe dans le plan.

Démonstration

Pour une courbe fermée strictement convexe la direction du tangent augmente monotoniquement d'un tour complet, donc la rotation totale vaut +2π (indice 1). Pour une immersion en forme de huit avec auto-intersection la rotation totale peut être nulle ; on obtient l'indice en calculant l'angle du tangent comme fonction continue le long du paramètre de la courbe.

Mauvaise application

Appliquer le théorème à des courbes avec sommets ou cusp sans traiter correctement la rotation signée, ou à des courbes non régulières ou non fermées ; l'énoncé requiert une courbe régulière (au moins C^1) ou une généralisation soignée aux cas piècewise‑smooth.

Conséquence

Fournit une invariante discrète classifiant les courbes fermées régulières du plan à iso‑topie régulière et sous-tend les calculs d'indice en topologie plane et en théorie des champs de vecteurs ; relie la rotation géométrique au winding topologique.

Inversion

Inverser l'orientation du parcours change le signe de la rotation totale (l'indice devient son opposé) ; cela souligne que le théorème dépend de l'orientation et que la valeur absolue de l'indice capture la multiplicité de rotation non orientée.

Limite

S'applique aux courbes fermées régulières (différentiables) du plan et s'étend avec précaution aux immersions piècewise‑smooth ; il ne s'applique pas directement aux courbes avec singularités sévères ni aux arcs non fermés sans modification.

Tension sémantique

Étroitement lié au théorème d'indice de Whitney et aux notions de nombre d'enroulement de la courbe autour d'un point extérieur ; la tension apparaît en distinguant l'indice de rotation du tangent et l'enroulement de la courbe autour d'un point — ils coïncident souvent mais sont conceptuellement distincts.

Synthèse

L'Umlaufsatz de Hopf égalise la rotation totale signée du tangent d'une courbe plane fermée à 2π fois un indice entier de rotation, fournissant un pont direct entre le comportement différentiel de rotation et la classification topologique des immersions planaires.