Der Hopf‑Umlaufsatz besagt, dass für eine reguläre einfache geschlossene Kurve in der Ebene der gesamte vorzeichenbehaftete Drehwinkel des Tangentenvektors bei einmaligem Durchlaufen der Kurve gleich 2π mal dem Umlauf‑ (Rotations‑) Index der Kurve ist; der Rotationsindex misst also, wie oft der Tangentenvektor eine vollständige Umdrehung macht.

Prinzip

Die totale Drehung des Tangentenvektors entlang einer geschlossenen regulären Kurve ist ein ganzzahliges Vielfaches von 2π, und diese ganze Zahl (der Rotationsindex) ist eine topologische Invariante der Immersionsklasse der Kurve in der Ebene.

Demonstration

Bei einer streng konvexen einfachen geschlossenen Kurve nimmt die Tangentenrichtung monoton genau einmal um 2π zu, daher ist die Gesamtrotation +2π (Index 1). Bei einer Acht‑Immersion mit Selbstschnitt kann die Gesamtrotation null sein; man berechnet den Index, indem man den Tangentenwinkel als stetige Funktion entlang des Parameterintervalls betrachtet.

Fehlanwendung

Den Satz auf Kurven mit Ecken oder Spitzen anzuwenden, ohne die vorzeichenbehaftete Drehung korrekt zu behandeln, oder auf nichtreguläre beziehungsweise nichtgeschlossene Kurven; das Statement verlangt eine reguläre (mindestens C^1) geschlossene Kurve oder eine sorgfältige Generalisierung auf stückweise glatte Fälle.

Konsequenz

Lieferte eine diskrete Invariante zur Klassifikation regulärer geschlossener ebenen Kurven bis zur regulären Homotopie und ist Grundlage für Indexberechnungen in der ebenen Topologie und der Feldtheorie; es verknüpft geometrische Drehung mit topologischem Umlaufverhalten.

Umkehrung

Das Umkehren der Orientierung des Durchlaufs kehrt das Vorzeichen der Gesamtrotation um (der Index wird negativ); dies macht deutlich, dass der Satz orientationsabhängig ist und dass der Betrag des Index die nichtorientierte Rotationsvielfachheit erfasst.

Abgrenzung

Gilt für reguläre (differenzierbare) einfache geschlossene Kurven in der Ebene und lässt sich mit Vorsicht auf stückweise glatte Immersionen erweitern; er gilt nicht unmittelbar für Kurven mit schweren Singularitäten oder für nichtgeschlossene Bögen ohne Modifikation.

Semantische Spannung

Steht in engem Zusammenhang mit Whitneys Indextheorem und mit dem Winding‑Number‑Begriff einer Kurve um einen Punkt; Spannung entsteht bei der Unterscheidung zwischen Rotationsindex des Tangentenvektors und dem Umlauf der Kurve um einen äußeren Punkt — beides stimmt in vielen Fällen, bleibt jedoch konzeptionell verschieden.

Synthese

Der Hopf‑Umlaufsatz setzt die vorzeichenbehaftete Gesamtrotation des Tangentenvektors einer geschlossenen ebenen Kurve mit 2π mal dem ganzzahligen Rotationsindex gleich und verbindet damit differentialgeometrische Drehungsinformation mit der topologischen Klassifikation planarer Immersionen.