El Umlaufsatz de Hopf afirma que para una curva cerrada regular simple en el plano el ángulo total de giro firmado del vector tangente al recorrer la curva una vez es igual a 2π multiplicado por el índice de giro (winding) de la curva; equivalentemente, el índice mide cuántas vueltas completas efectúa el tangente.

Principio

El giro total del vector tangente a lo largo de una curva cerrada regular es un múltiplo entero de 2π, y ese entero (el índice de rotación) es una invariante topológica de la clase de inmersión de la curva en el plano.

Demostración

Para una curva cerrada estrictamente convexa la dirección de la tangente aumenta monótonamente una vez, por lo que el giro total es +2π (índice 1). Para una inmersión en forma de ocho con autointersección el giro total puede ser cero; calculando el ángulo tangente como función continua a lo largo del parámetro se obtiene el índice.

Aplicación incorrecta

Aplicar el teorema a curvas con esquinas o cúspides sin tratar correctamente el giro firmado, o a curvas no regulares o no cerradas; la afirmación requiere una curva regular (al menos C^1) o una generalización cuidadosa para casos pieza‑suaves.

Consecuencia

Proporciona una invariante discreta que clasifica curvas cerradas regulares del plano hasta homotopía regular y fundamenta cálculos de índices en topología plana y teoría de campos vectoriales; vincula el giro geométrico con el winding topológico.

Inversión

Invertir la orientación del recorrido invierte el signo del giro total (el índice se hace negativo); ello subraya que el teorema depende de la orientación y que el valor absoluto del índice captura la multiplicidad de giro no orientada.

Límite

Se cumple para curvas cerradas regulares (diferenciables) del plano y se extiende con cuidado a inmersiones pieza‑suaves; no se aplica directamente a curvas con singularidades severas ni a arcos no cerrados sin modificación.

Tensión semántica

Está estrechamente relacionado con el teorema del índice de Whitney y con nociones de número de vueltas de la curva alrededor de un punto; existe tensión al distinguir el índice de rotación del tangente del winding de la curva alrededor de un punto exterior — con frecuencia coinciden, pero son conceptos distintos.

Síntesis

El Umlaufsatz de Hopf iguala el giro total firmado del tangente de una curva cerrada del plano a 2π por un índice entero de rotación, estableciendo un puente entre el comportamiento diferencial de giro y la clasificación topológica de inmersiones planas.