Pour un polygone simple du plan dont les sommets sont des points du réseau entier, le théorème de Pick exprime l'aire Euclidienne A par A = I + B/2 − 1, où I est le nombre de points entiers à l'intérieur et B le nombre de points entiers sur le bord.

Principe

L'aire d'un polygone à sommets entiers est déterminée combinatoirement par le comptage des points du réseau à l'intérieur et sur le bord : la géométrie se réduit au dénombrement sur le réseau pour des sommets à coordonnées entières.

Démonstration

Exemple : le triangle de sommets (0,0), (4,0) et (0,3) a une aire de 6 par la formule du déterminant. Les points du bord B sont au nombre de 8 (cinq sur la base, quatre sur le côté vertical, deux sur l'hypoténuse avec ajustement des sommets), ainsi Pick prédit I = A − B/2 + 1 = 6 − 4 + 1 = 3 points entiers intérieurs, ce qui se vérifie par comptage direct.

Mauvaise application

Appliquer la formule à des polygones aux sommets non entiers, à des polygones avec des trous ou à des polygones auto‑intersection ; le théorème de Pick échoue ou nécessite des modifications dans ces cas.

Conséquence

Fournit une méthode combinatoire exacte et simple pour calculer les aires de polygones à sommets entiers et pour déduire le nombre de points intérieurs à partir des données d'aire et de bord ; il soutient des approches discrètes et computationnelles de la géométrie du plan à réseau.

Inversion

Étant donné A et B pour un polygone à réseau, Pick permet de déterminer I de façon unique ; toutefois la donnée de l'aire seule ne détermine pas la structure combinatoire du polygone. La formule est une égalité exacte plutôt qu'une implication sur la forme au-delà du dénombrement.

Limite

Nécessite un polygone simple (sans auto‑intersection) dont les sommets ont des coordonnées entières dans le plan ; les polygones avec trous, bords courbes ou sommets non entiers sont hors de portée.

Tension sémantique

On le met souvent en relation avec des versions discrètes de théorèmes continus (par exemple des analogues du Gauss‑Bonnet ou de la caractéristique d'Euler) ; la tension vient de la proximité entre énoncés de comptage combinatoire et notions d'aire lisse, mais Pick est exact dans le cadre du réseau.

Synthèse

Le théorème de Pick établit un lien exact entre dénombrement discret et aire continue pour les polygones à sommets entiers : l'aire égale le nombre de points intérieurs plus la moitié des points du bord moins un, offrant une formule compacte pour la géométrie en treillis.